Gesetze der Vektoraddition

30.08.2004, 16:54

The_Lion

Gesetze der Vektoraddition

Hallo.
ich wollte nur mal wissen, ob meine Antworten auf folgende Fragen richtig sind und hab auch wieder Fragen.

Zitat:

Worin ist es begründet, dass die Vektoraddition zeichnerisch auch durch eine Parallelogrammkonstruktion durchgeführt werden kann?

Antwort: Weil dadurch, dass paarweise 2 Seitenvektoren Repräsentanten eines Vektors sind, das Kommutativgesetz bewiesen wird.

Zitat:

a) Warum bildet die Menge aller zueinander parallelen und gleich orientierten Vektoren bezüglich der Addition keine Gruppe
b)Warum bildet die Menge aller ebenen Vektoren gleichen Betrags keine Gruppe?

zu a) Weil das Inversitätsgesetz nicht gilt, denn beide sind ja gleich gerichtet. (bin mir aber unsicher)
edit: Die Vektoren müssen ja diese Bedingung erfüllen: $\begin{eqnarray*} |\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}| \end{eqnarray*}$
zu b) ( ich denke in der zwischenzeit mal drüber nach.)

PS: Wenn zwei Vektoren, (nicht zwei Pfeile), gleich lang, parallel und gleich orientiert sind, kann, man dann noch von zwei verschiedenen Vektoren sprechen?

PPS:
"Orientierung" und "Richtung" haben doch dieselbe Bedeutung oder nicht?
Im dem Buch wird z.B. von "Richtung und Orientierung" gesprochen. Das kommt mir so vor, als wären sie dann nicht ein und dasselbe Ding.

30.08.2004, 17:26

Tobias

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Zu a) Weil zu keinem a aus der Menge (ohne 0) das inverse Element existiert.

Widerspruch zu:
$\begin{eqnarray*} \forall a \in A \; \exists \overline{a} \in A \; : \; a + \overline{a} = 0 \end{eqnarray*}$ , denn -a und a sind nicht gleichorientiert.

Zu b) Ist $\begin{eqnarray*} A \neq \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ , so existiert kein neutrales Element 0:

Widerspruch zu:
$\begin{eqnarray*} \exists e \in A \; : \; a + e = a \; \forall a \in A \end{eqnarray*}$ , denn e = 0 hat nicht den Betrag von a.

30.08.2004, 17:46

The_Lion

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Danke.
Mit a) hatte ich dann also Recht.

Ich bin noch nicht so weit mit den mathematischen Zeichen, aber man kann sie hier ja nachlesen, aber ich habe verstanden was Du meinst.

zu b) nochmal:
Aber im Sonderfall, wenn alle Vektiren der Ebene Nullvektoren sind, gibt es dann ein neutrales Element, oder nicht?
- Das kann man doch problemlos auf Vektoren jedes Vektorraumes übertragen, also z.B. auf V_3 ?

Wie ist es denn mit meinen anderen Fragen?

30.08.2004, 18:01

Tobias

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Ok, zuerst das, was du zu a) neben "edit" geschrieben hast ist offensichtlich falsch:

edit: Die Vektoren müssen ja diese Bedingung erfüllen: |a + b| = |a| + |b|

Vielmehr gilt die Dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray*} |a + b| \leq |a| + |b| \end{eqnarray*}$

Ausserdem hat dies nichts mit den Inversen Elementen zu tun. Ich meinte: Für jeden Vektor aus der Menge müsste man einen inversen Vektor finden, so dass die Summe der beiden den Nullvektor ergibt. Dies ist bei gleichgerichteten Vektoren nur dann der Fall, wenn die Menge nur aus dem Nullvektor selbst besteht.

P.S.: Zwei Vektoren sind "gleich", wenn sie in Betrag und Richtung übereinstimmen.

P.P.S.: Ja, Orientierung und Richtung sind äquivalente Formulierungen.

30.08.2004, 18:11

The_Lion

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Eigentlich sind die Aufgaben ja gelöst, aber ich muss noch etwas sagen. Die Dreiecksungleichung gilt bei Vektoren, die verschiedene Richtunge haben. Und in der Aufgabenstellung ist von zueinander parallelen und gleichorientierten Vektoren die Rede.
Aber ansonsten ist es richtig, dass man dann die Gleichung hier nicht braucht.
$\begin{eqnarray*} |\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}| \end{eqnarray*}$

siehe Aufgabenstellung:
a) Warum bildet die Menge aller zueinander parallelen und gleich orientierten Vektoren bezüglich der Addition keine Gruppe

Außerdem ist doch $\begin{eqnarray*} |\vec{a}+\vec{b}|\leq |\vec{a}|+|\vec{b}| \end{eqnarray*}$ falsch, da die nicht gleich werden können, sondern nur das "<" stehen dürfte.

edit: sorry, doppelpost, bitte löscht den beitrag von mir hier drüber.

30.08.2004, 18:12

Tobias

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Sorry, da hast du natürlich Recht.

Sind a und b parallel, so gilt |a + b| = |a| + |b|, sonst gilt

|a + b| < |a| + |b|. Es können beide Fälle auftreten, was zu der Form

|a + b| <= |a| + |b| führt.

MfG

30.08.2004, 18:44

SirJ

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RE: Gesetze der Vektoraddition

Zitat:

Original von The_Lion
PS: Wenn zwei Vektoren, (nicht zwei Pfeile), gleich lang, parallel und gleich orientiert sind, kann, man dann noch von zwei verschiedenen Vektoren sprechen?

Das hängt davon ab, wie du "Pfeil" und "Vektor" definierst. Die Unterscheidung zwischen "Punkt" = Ortsvektor, "Vektor" = Richtungsvektor und "Pfeil" = Paar aus Punkt (Anfang) und Vektor (gerichtete Länge) ist für die Anschauung hilfreich, verwirrt aber bei abstrakteren Überlegungen.

Zitat:

PPS:
"Orientierung" und "Richtung" haben doch dieselbe Bedeutung oder nicht?
Im dem Buch wird z.B. von "Richtung und Orientierung" gesprochen. Das kommt mir so vor, als wären sie dann nicht ein und dasselbe Ding.

Es gibt Autoren, die zwischen "Richtung" und "Richtungssinn" unterscheiden. Eine Gerade hat eine Richtung, aber keinen Richtungssinn, während ein Strahl eine Richtung und einen Richtungssinn hat.

"Orientierung" hat viele Bedeutungen, eine davon ist wahlweise "Richtungssinn" oder "Richtung", es gibt aber auch mehrdimensionale Entsprechungen (z.B. Drehsinn einer sich drehenden Figur).

Gruss,
SirJ

PS: Ist dieses Doppelpostproblem von der Software so vorgesehen, oder will uns jama demonstrieren, wie dringend ein neuer Server benötigt wird?

\\EDIT by sommer87: Hab den Post drüber gelöscht, war der selbe Inhalt.
Heute Nachmittag war der Server ziemlich langsam. An dem Problem wird gearbeitet. Augenzwinkern

30.08.2004, 19:23

The_Lion

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was ist denn dieser Richtungssinn ?

PS: wie kannst Du sehen, dass Du ein Doppelpost gemacht hast, obwohl du als nicht registirerter Benutzer geschrieben hast?

Bist du sirjective ?

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