Stochastik - Wahrscheinlichkeitsmaß

13.11.2016, 00:57

Fine1212

Stochastik - Wahrscheinlichkeitsmaß

Meine Frage:
Hallo! Ich soll für Stochastik 1 folgende Aufgabe lösen: "Es seien A, B, C drei Ereignisse mit P(A) = P(B) = P(C) = p und mit D sei das Ereignis
bezeichnet, dass genau 2 der 3 Ereignisse A, B, C eintreten. Für welche Werte von p ist P(D) = 1 möglich?" Hier komme ich etwas ins stolpern.

Meine Ideen:
Wir wissen dass $\begin{eqnarray*} P(\Omega) \end{eqnarray*}$ =1 gilt. Ich dachte nun, dass wir ja erhalten müssen: P(D)=P(AuB)=P(BuC)=P(AuC)=1. Wenn P(A)=1/2 und P(B)=1/2 würde das ja gelten für den ersten Teil oder? Da aber gelten muss P(A)=P(B)=P(C) kann das ja nicht gelten, da sonst $\begin{eqnarray*} P(\Omega) \end{eqnarray*}$ <1 wäre. Und nun bin ich etwas ratlos.. Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!

02.12.2016, 15:27

matze(2)

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RE: Stochastik - Wahrscheinlichkeitsmaß
Guten Tag,

die richtige Antwort ist $\begin{eqnarray*} p\in\{2/3\} \end{eqnarray*}$ .

Als Nachweis, dass $\begin{eqnarray*} p=2/3 \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine gültige Wahl ist führen wir ein Beispiel an: Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable, deren Verteilung die diskrete Verteilung auf einer 3-elementigen Menge, sagen wir $\begin{eqnarray*} \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ , ist.

Nun setzen wir

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix}A := \{X\in\{1,2\}\}\\<br /> B := \{X\in\{2,3\}\}\\<br /> C := \{X\in\{1,3\}\}\end{matrix} \end{eqnarray*}$

und erhalten das Gewünschte.

Nun müssen noch weitere Lösungen für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen werden.
Wegen $\begin{eqnarray*} D\subseteq A \cup B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \leq 1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)=1 \end{eqnarray*}$ und mit analoger Argumentation deine erste Gleichungskette. Im Weiteren bist du scheinbar davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ zwangsläufig disjunkt sind. Dem ist nicht so.

Mit der Einschluss-/Ausschluss-Formel für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ sieht man:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B), \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = 2p-1. \end{eqnarray*}$

Analog gilt das auch für andere 2er-Kombinationen aus $\begin{eqnarray*} A,B,C \end{eqnarray*}$ .

Nun wendet man nochmal die Formel für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B \cup C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A\cap B) - P(B\cap C) - P(A\cap C) + P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$

und erfreut sich des Wochenendes.

Prost! Prost

02.12.2016, 17:51

Ulrich Ruhnau

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RE: Stochastik - Wahrscheinlichkeitsmaß
Mit allem was geschrieben wurde, bin ich einverstanden nur nicht mit
$\begin{eqnarray*} D\subseteq A \cup B \end{eqnarray*}$ .
Ich würde lieber schreiben:
$\begin{eqnarray*} D=(A\cap B\cap -C)\cup (A\cap -B\cap C)\cup (-A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$
sodaß gilt:
$\begin{eqnarray*} 1=P(D)=P(A\cap B\cap -C)+P(A\cap -B\cap C)+P(-A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$
Der Ausdruck
$\begin{eqnarray*} p=P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap -B)=P(A\cap B\cap C)+P(A\cap B\cap -C)+P(A\cap -B\cap C)+P(A\cap -B\cap -C) \end{eqnarray*}$
läßt sich mit
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap C) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\cap -B\cap -C) = 0 \end{eqnarray*}$ vereinfachen.
Mit $\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap -C)=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A\cap -B\cap C)=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(-A\cap B\cap C)=a \end{eqnarray*}$
kommen wir so auf die drei Gleichungen
$\begin{eqnarray*} p=c+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p=a+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p=a+c \end{eqnarray*}$
Der Vergleich von jeweils 2 aus 3 Gleichungen liefert $\begin{eqnarray*} a=b=c=\frac{p}{2} \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} D=c+b+a=1 \end{eqnarray*}$ bedeutet das $\begin{eqnarray*} a=b=c=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ .

06.12.2016, 02:00

matze(2)

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RE: Stochastik - Wahrscheinlichkeitsmaß

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
Mit allem was geschrieben wurde, bin ich einverstanden nur nicht mit
$\begin{eqnarray*} D\subseteq A \cup B \end{eqnarray*}$ .

Tja, das mag sein. Trotzdem gilt $\begin{eqnarray*} D\subseteq A \cup B \end{eqnarray*}$ !

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
sodaß gilt:

Sodass schreibt man mit doppelt 's'.

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