Bedingte Wahrscheinlichkeiten Urne

13.11.2016, 17:53

UnWahrS

Bedingte Wahrscheinlichkeiten Urne

Hallo ich habe eine Aufgabe zur bedingten Wahrscheinlichkeit zu rechnen und bin mir da nicht sicher, ob das so stimmt/geht. Vielleicht kann mir ja jemand mal helfen.

Die Aufgabe: Wir haben eine Urne mit 12 Bällen (8 grüne und 4 rote). Wir ziehen 4 Bälle. Unter der Bedingung wir haben genau 3 grüne Bälle gezogen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste und dritte Ball grün sind. Mit Zurück legen nach jedem Ziehen.

habe ich mir folgende Ereignisse notiert und danach mit dem Satz von Beyes gerechnet:
A: Es werden 3 grüne Bälle gezogen
B: Erster und dritter Ball (von 4) sind grün

Somit ist
$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{6}{16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B) = \frac{8}{12} *1 *\frac{8}{12} * 1 = \frac{4}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{2}{6} \end{eqnarray*}$

Das setze ich ein:

$\begin{eqnarray*} P(B|A) = \frac{P(A|B) * P(B)}{P(A)} = (\frac{1}{3} *\frac{4}{9}) / \frac{3}{8} = \frac{1}{18} \end{eqnarray*}$

Schöne Grüße
UnWahrS

13.11.2016, 18:19

Math1986

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten Urne

Zitat:

Original von UnWahrS
Somit ist
$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{6}{16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B) = \frac{8}{12} *1 *\frac{8}{12} * 1 = \frac{4}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{2}{6} \end{eqnarray*}$

Bitte jeweils genauer begründen.

13.11.2016, 18:44

UnWahrS

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten Urne

Zitat:

Original von Math1986
Bitte jeweils genauer begründen.

A: Es werden 3 grüne Bälle gezogen
$\begin{eqnarray*} \Omega = \{g,r\}^4 \end{eqnarray*}$ und hab mir alle 16 4-Tupel aufgemalt und abgezählt, in wie vielen Tupeln genau 3 g vorkommen. Das waren 6. Wegen des Zurücklegens sind alle gleich wahrscheinlich und laut Laplace konnte ich über die Mächtigkeiten von A und Omega direkt die Wahrscheinlichkeit hinschreiben.

B: Erster und dritter Ball (von 4) sind grün
P(B) = Wahrscheinlichkeit im ersten Zug eine grüne Kugel zu ziehen * W'keit im zweiten Zug eine grüne oder rote Kugel zu ziehen * W'keit im dritten Zug eine grüne Kugel zu ziehen * W'keit im vierten Zug eine grüne oder rote Kugel zu ziehen

zu P(A|B):

Hier habe ich die 6 Tupel, welche an erster und dritter Stelle ein g hatten hatten als Omega genommen und wieder abgezählt, bei wie vielen genau 3 g enthalten sind. Wieder über die Mächtigkeiten von Omega und der Menge mit den erfolgreichen Ereignissen habe ich die Wahrscheinlichkeit gebildet.

---
Aber ich bin mir nicht einmal sicher, ob ich A und B richtig gebildet habe.

13.11.2016, 18:47

Math1986

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten Urne

Zitat:

Original von UnWahrS

Zitat:

Original von Math1986
Bitte jeweils genauer begründen.

Bei 8 grünen und 4 roten Kugeln in der Urne ist also beides gleich wahrscheinlich?

13.11.2016, 19:07

UnWahrS

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Selbstverständlich nicht, hast Recht.

Die Wahrscheinlichkeit für A: "es werden genau 3 grüne Kugeln" gezogen wird wohl eher so aussehen, wobei die ersten 3 Faktoren die W'keit für das ziehen einer grünen und der vierte Faktor die W'keit für das ziehen einer roten Kugel sind:

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{8}{12} * \frac{8}{12} * \frac{8}{12} * \frac{4}{12} = \frac{8}{81} \end{eqnarray*}$

============
Zwischenfrage:
Im Fall ohne zurück legen sieht die Wahrscheinlichkeit dann so aus:
$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{8}{12} * \frac{7}{11} * \frac{6}{10} * \frac{4}{9} = \frac{56}{495} \end{eqnarray*}$

13.11.2016, 19:15

Math1986

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Das stimmt soweit. Freude

Nun die anderen gesuchten Wahrscheinlichkeiten ausrechnen.

13.11.2016, 19:48

UnWahrS

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B: 1. und 3. gezogene Kugel ist grün:

Hier wird doch keine Aussage über die zweite und vierte Kugel gemacht?
Daher würde ich das im Falle "mit Zurücklegen" so wie im ersten Post berechnen:

$\begin{eqnarray*} P(B) =\frac{8}{12} * \frac{1}{1} * \frac{8}{12} * \frac{1}{1} = \frac{4}{9} \end{eqnarray*}$

Und für "es werden genau 3 grüne Kugeln gezogen unter der Bedingung, die erste und dritte sind grün":

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{1}{1} * \frac{8}{12} * \frac{1}{1} * \frac{4}{12} = \frac{4}{21} \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich als P(B|A):

$\begin{eqnarray*} P(B|A) = (\frac{4}{21}* \frac{4}{9} ) / \frac{8}{81} = \frac{6}{7} \end{eqnarray*}$

===
Im Falle "ohne Zurücklegen:
[latex]P(B) =\frac{8}{12} * \frac{1}{1} * \frac{7}{10} * \frac{1}{1} schätze ich als falsche Formel ein, da der Fall, dass als zweite auch eine grüne gezogen wurde nicht beachtet wurde.

13.11.2016, 20:23

Math1986

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Zitat:

Original von UnWahrS
B: 1. und 3. gezogene Kugel ist grün:

Hier wird doch keine Aussage über die zweite und vierte Kugel gemacht?
Daher würde ich das im Falle "mit Zurücklegen" so wie im ersten Post berechnen:

$\begin{eqnarray*} P(B) =\frac{8}{12} * \frac{1}{1} * \frac{8}{12} * \frac{1}{1} = \frac{4}{9} \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von UnWahrS
Und für "es werden genau 3 grüne Kugeln gezogen unter der Bedingung, die erste und dritte sind grün":

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{1}{1} * \frac{8}{12} * \frac{1}{1} * \frac{4}{12} = \frac{4}{21} \end{eqnarray*}$

Bitte genauer begründen. Hier stimmt nichtmal das rechte Gleichheitszeichen.

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