Induktionsbeweis: wenn n² gerade, dann n gerade

14.11.2016, 03:26

Pippen

Induktionsbeweis: wenn n² gerade, dann n gerade

Bin Anfänger und habe mich erfolglos an einem Induktionsbeweis zu o.g. Aussage versucht. Wie würde der Beweis über vI aussehen?

14.11.2016, 07:20

Dopap

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es geht doch auch mit Kontraposition:

$\begin{eqnarray*} \mathop{\bigwedge}\limits_{ n \in \mathbb N} \lnot 2|(2n+1)\Rightarrow \lnot 2|(2n+1)^2=4n^2+4n +1 \end{eqnarray*}$

und warum einen Induktionsbeweis? Ist hier komisch und schwer zu schreiben:

1.) $\begin{eqnarray*} 2|2^2=4 \Rightarrow 2|2 \checkmark \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} 2|n^2\Rightarrow 2|n \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n +1\Rightarrow 2|n^2\land 2|2n\land \lnot 2|1\Rightarrow \lnot 2|(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

ob das so stimmt verwirrt

14.11.2016, 18:44

Pippen

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Den Beweis via Kontraposition habe ich verstanden und mich dann eben gefragt, ob und wie es via vI ginge.

Meine Idee war ziemlich wie deine, aber an einem Pkt. kam ich nicht mehr weiter:

1.) $\begin{eqnarray*} 2|2^2=4 \Rightarrow 2|2 \checkmark \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} 2|n^2\Rightarrow 2|n \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} (n+1)^2=n^2+2n +1\Rightarrow 2|n^2 + 2|2n\ + \end{eqnarray*}$ ...und hier endet es; ich habe für n² und n einfach die Formel für eine gerade Zahl aus 2. eingesetzt, aber dann würde folgen "+ 1" und dann kann man die 2 nicht mehr ausklammern, um so letztendlich für (n+1)² eine gerade Zahl zu erhalten.

14.11.2016, 19:34

Dopap

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ich sehe es so: der Nachfolger der Behauptung ist ungerade.
Also immer im Wechselspiel. Warum nicht verwirrt

14.11.2016, 20:25

Guppi12

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Für die Induktion könntest du z.B. so vorgehen:

Falls $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ ungerade ist, so ist nichts zu zeigen. Ist $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ gerade, so versuche nachzuweisen, dass dann auch $\begin{eqnarray*} (n-1)^2 \end{eqnarray*}$ gerade ist. Darauf kannst du dann deine Induktionsvoraussetzung anwenden. Um dies so zu bewerkstelligen, musst du allerdings den Induktionsanfang für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ durchrechnen, weil du im Induktionsschritt 2 Schritte zurückgehen können musst. Glücklicherweise ist für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ garnichts zu zeigen Big Laugh

15.11.2016, 00:07

Pippen

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Zitat:

Original von Dopap
ich sehe es so: der Nachfolger der Behauptung ist ungerade.

Das ist es! Wenn n² = 2n² und n = 2n (also jeweils gerade), dann muss gelten: (n+1)² = 2n²+1 und n+1 = 2n+1, also jeweils ungerade. D.h. vI funktioniert hier gar nicht oder anders, in dem man (n+2)² und (n+2) als "Nachfolger" nehmen müsste, also jeden 2. Nachfolger, doch das gibt die vI nicht her. MaW: Die Aussage ist per vI nicht beweisbar, weil ihr nicht die "Dominostruktur" zugrundeliegt.

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