Umkehrabbildung verketteter bijektiver Funktionen

14.11.2016, 09:07

Student1411

Umkehrabbildung verketteter bijektiver Funktionen

Meine Frage:
(a) Es sei $\begin{eqnarray*} S:=\left\{n \in \mathbb N |\exists m\in \mathbb N : m^{2} = n \right\} \end{eqnarray*}$ die Menge der Quadratzahlen.

Weiter seien $\begin{eqnarray*} g:\mathbb N \cup \left\{-1\right\} ->\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N ->S, x->x^2 \end{eqnarray*}$ Abbildungen. Bestimmen Sie, falls möglich, die Abbildungen $\begin{eqnarray*} (f°g)^-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^-1°f^-1 \end{eqnarray*}$ .

(b) Es seien g: A -> B und f: B -> C bijektive Funktionen. Beweisen Sie (f°g)^-1 = $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ ° $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu (a): f°g = f(g(x)) daraus folgt f(x+1) = (x+1)^2
(f°g)^-1 wäre ja dann x=(y+1)^2 und y= wurzel(x) + 1 (aufgrund des Definitionsbereiches sollte das Wurzelziehen doch möglich sein?)

g^-1 := x = y+1 daraus folgt y = x-1
f^-1 := wurzel(x)
g^-1°f^-1= g^-1(f^-1(x)) = g^-1(wurzel(x)) daraus folgt y = wurzel(x) +1

der Beweis von (b) bereitet mir jedoch mehr Schwierigkeiten.
Ich habe überlegt, dass die Identitätsabbildung ja f°f^-1 ist. Kann ich dann umformen auf f°id°f^-1 und auf f°(g°g^-1)°f^-1, und dann nach Assoziativgesetz folgern (f°g)°(g^-1°f^-^1) und daraus schließen, dass das was ich beweisen sollte wahr ist und zwar (f°g)^-1 = g^-1°f^-1 ??
Ich bin mir aber nicht so sicher, ob man das so machen kann weil ich ja nicht so richtig benutzt habe, dass meine Funktionen bijektiv sind.
Danke für eure Hilfe!

14.11.2016, 12:48

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass du in der Aufgabenstellung was "vergessen" hast?

Zitat:

Original von Student1411
Weiter seien $\begin{eqnarray*} g:\mathbb N \cup \left\{-1\right\} ->\mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N ->S, x->x^2 \end{eqnarray*}$ Abbildungen.

Ich nehme an, dort sollte eigentlich

Zitat:

Weiter seien $\begin{eqnarray*} g:\mathbb N \cup \left\{-1\right\} \to \mathbb N,~{\color{red}x\mapsto x+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N \to S, x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ Abbildungen.

stehen!

14.11.2016, 13:21

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Umkehrabbildung verketteter bijektiver Funktionen
Dein Aufschrieb ist furchtbar (s. @HAL9000) und es fehlt die Definition von g. Nutze bitte den Formeleditor (vergiss dabei die einschließenden Latex-Tags nicht).

Für den winzigen Latex-Ausschnitt, den du nutzen solltest:
"wurzel(xy)" ist \sqrt{xy}, ° ist \circ, g^-1 muss man als g^{-1} schreiben, etc..

Außerdem scheint bei euch $\begin{align*} \mathbb N \end{align*}$ als die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der 0 definiert zu sein.

@HAL
Schade, dass es hier keine Upvotes gibt. Da hätte ich dir jetzt wieder mal einen gegeben.

14.11.2016, 19:29

Student1411

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann entschuldige ich mich hiermit für die schlechte Form und bitte dennoch um Hilfe bei der Lösunsgfindung. Es soll wirklich $\begin{eqnarray*} x\mapsto x+1 \end{eqnarray*}$ heißen.

14.11.2016, 20:24

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Taten wiegen schwerer als Worte. Wie wär's, wenn du dein Eröffnungsposting nochmal komplett neu postest, diesmal mit den Formeln in Latex? Dann wird dir bestimmt auch jemand helfen.

14.11.2016, 21:14

Student1411

Auf diesen Beitrag antworten »

(a) Es sei $\begin{eqnarray*} \mathbb S:= \left\{ n\in \mathbb N|\exists m^{2}\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ die Menge der Quadratzahlen. Weiter seien $\begin{eqnarray*} g:\mathbb N \cup \left\{ -1\right\} -> \mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\mapsto x+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N -> \mathbb S \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^{2} \end{eqnarray*}$ Abbildungen. Bestimmen Sie, falls möglich, die Abbildungen $\begin{eqnarray*} (f\circ g)^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (g)^{-1}\circ (f)^{-1} \end{eqnarray*}$ .

(b) Es seien g: A -> B und f: B -> C bijektive Funktionen. Beweisen Sie:
$\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{-1} = (g)^{-1} \circ (f)^{-1} \end{eqnarray*}$

14.11.2016, 22:12

Student1411

Auf diesen Beitrag antworten »

zu (a): $\begin{eqnarray*} f \circ g = f\left(g\left(x\right) \right) \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} f\left(x+1\right) = \left(x+1\right)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{-1} \end{eqnarray*}$ wäre ja dann $\begin{eqnarray*} x = \left(y+1\right)^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x} +1 \end{eqnarray*}$ (aufgrund des Definitionsbereiches sollte das Wurzelziehen doch möglich sein?)

$\begin{eqnarray*} g^{-1}:= x = y+1 \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} y = x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1}:=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^{-1} \circ f^{-1} = g^{-1} \left(f^{-1} \left(x\right) \right)= g^{-1}\left(\sqrt{x}\right) \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} +1 \end{eqnarray*}$

der Beweis von (b) bereitet mir jedoch mehr Schwierigkeiten.
Ich habe überlegt, dass die Identitätsabbildung ja $\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ ist. Kann ich dann umformen auf $\begin{eqnarray*} f \circ id \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ und auf $\begin{eqnarray*} f \circ (g\circ g^{-1}) \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ , und dann nach Assoziativgesetz folgern $\begin{eqnarray*} (f \circ g)\circ (g^{-1} \circ f^{-1}) \end{eqnarray*}$ und daraus schließen, dass das was ich beweisen sollte wahr ist und zwar $\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ ??
Ich bin mir aber nicht so sicher, ob man das so machen kann weil ich ja nicht so richtig benutzt habe, dass meine Funktionen bijektiv sind.
Danke für eure Hilfe!

14.11.2016, 22:34

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich vereinfache, ergänze und ändere nur ein wenig. Beispielsweise auch $\begin{align*} \mathbb N_0 \end{align*}$ statt $\begin{align*} \mathbb N \end{align*}$ , damit es da keine Missverständnisse gibt. (-> schreibt man \to):

Zitat:

Original von Student1411
(a) Es sei $\begin{eqnarray*} S:= \left\{ n\in \mathbb N_0| n^{2}\in \mathbb N_0 \right\} \end{eqnarray*}$ die Menge der Quadratzahlen. Weiter seien $\begin{eqnarray*} g:\mathbb N_0 \cup \left\{ -1\right\} \to \mathbb N_0,x\mapsto x+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: \mathbb N_0 \to S,x\mapsto x^{2} \end{eqnarray*}$ Abbildungen. Bestimmen Sie, falls möglich, die Abbildungen $\begin{eqnarray*} (f\circ g)^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^{-1}\circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ .

(b) Es seien $\begin{eqnarray*} g: A \to B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: B \to C \end{eqnarray*}$ bijektive Funktionen. Beweisen Sie:
$\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsstest du allerdings deine Ideen nochmals in besserer Form hinschreiben.

14.11.2016, 22:37

Student1411

Auf diesen Beitrag antworten »

@RavenOnJ hier die Ideen

Zitat:

Original von Student1411
zu (a): $\begin{eqnarray*} f \circ g = f\left(g\left(x\right) \right) \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} f\left(x+1\right) = \left(x+1\right)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{-1} \end{eqnarray*}$ wäre ja dann $\begin{eqnarray*} x = \left(y+1\right)^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x} +1 \end{eqnarray*}$ (aufgrund des Definitionsbereiches sollte das Wurzelziehen doch möglich sein?)

$\begin{eqnarray*} g^{-1}:= x = y+1 \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} y = x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1}:=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g^{-1} \circ f^{-1} = g^{-1} \left(f^{-1} \left(x\right) \right)= g^{-1}\left(\sqrt{x}\right) \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} +1 \end{eqnarray*}$

der Beweis von (b) bereitet mir jedoch mehr Schwierigkeiten.
Ich habe überlegt, dass die Identitätsabbildung ja $\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ ist. Kann ich dann umformen auf $\begin{eqnarray*} f \circ id \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ und auf $\begin{eqnarray*} f \circ (g\circ g^{-1}) \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ , und dann nach Assoziativgesetz folgern $\begin{eqnarray*} (f \circ g)\circ (g^{-1} \circ f^{-1}) \end{eqnarray*}$ und daraus schließen, dass das was ich beweisen sollte wahr ist und zwar $\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ ??
Ich bin mir aber nicht so sicher, ob man das so machen kann weil ich ja nicht so richtig benutzt habe, dass meine Funktionen bijektiv sind.
Danke für eure Hilfe!

14.11.2016, 23:55

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist einiges unsauber:

Zitat:

Wenn du schreibst $\begin{align*} f \circ g = ... \end{align*}$ , dann steht auf der linken Seite eine Abbildung, also muss auf der rechten Seite ebenfalls diese Abbildung stehen, möglicherweise in anderer Form. Bei dir steht auf der rechten Seite jedoch ein Wert. Was du anscheinend meinst ist
$\begin{align*} (f \circ g)(x) = f(g(x)) \end{align*}$ usw.

(BTW: Das \left und \right ist nur dann für's Layout notwendig, wenn die Elemente, auf die sich dies bezieht, die falsche Größe haben. Normalerweise kann man einfach diese Symbole (hier Klammern) hinschreiben.)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{-1} \end{eqnarray*}$ wäre ja dann $\begin{eqnarray*} x = \left(y+1\right)^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x} +1 \end{eqnarray*}$ (aufgrund des Definitionsbereiches sollte das Wurzelziehen doch möglich sein?)

Ich weiß nicht, was du mit dem y willst. Es soll wahrscheinlich so sein:
$\begin{align*} (f \circ g)^{-1}\left((x+1)^2\right)= x \end{align*}$
oder mit $\begin{align*} y=(x+1)^2 \end{align*}$
$\begin{align*} (f \circ g)^{-1}(y)= \sqrt{y}-1 \end{align*}$
Du solltest auch die Definitions- und Wertebereiche angeben.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g^{-1}:= x = y+1 \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} y = x-1 \end{eqnarray*}$

Dies ist ziemlich unsauber bzw. falsch notiert. Es sollte heißen
$\begin{align*} g^{-1}( x) = x-1 \end{align*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}:=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Auch hier wieder: Links eine Abbildung, rechts ein Wert. Du könntest schreiben:
$\begin{align*} f^{-1}= \sqrt\cdot \end{align*}$ oder $\begin{align*} f^{-1}(x)= \sqrt {x} \end{align*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} g^{-1} \circ f^{-1} = g^{-1} \left(f^{-1} \left(x\right) \right)= g^{-1}\left(\sqrt{x}\right) \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{x} +1 \end{eqnarray*}$

Auch hier wieder Inkompatibilität linke/rechte Seite und ein Vorzeichenfehler. Stattdessen
$\begin{align*} (g^{-1} \circ f^{-1})(x) = g^{-1} \left(f^{-1} \left(x\right) \right)= g^{-1}\left(\sqrt{x}\right) =\sqrt{x}-1 \end{align*}$

Du solltest auch noch über die Existenz der Umkehrfunktionen etwas schreiben, denn die ist nicht selbstverständlich.

Zu b):

Zitat:

Ich habe überlegt, dass die Identitätsabbildung ja $\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ ist. Kann ich dann umformen auf $\begin{eqnarray*} f \circ id \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ und auf $\begin{eqnarray*} f \circ (g\circ g^{-1}) \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ , und dann nach Assoziativgesetz folgern $\begin{eqnarray*} (f \circ g)\circ (g^{-1} \circ f^{-1}) \end{eqnarray*}$ und daraus schließen, dass das was ich beweisen sollte wahr ist und zwar $\begin{eqnarray*} (f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1} \end{eqnarray*}$ ??
Ich bin mir aber nicht so sicher, ob man das so machen kann weil ich ja nicht so richtig benutzt habe, dass meine Funktionen bijektiv sind.

Im Prinzip ist das richtig. Aber wie du schon bemerkt hast, erwähnst du die Bijektivität nicht. Das Problem bei Umkehrfunktionen ist, dass a) die Funktionen selber u.U. nicht injektiv sind, eine Umkehrfunktion also u.U. nicht eindeutig, damit nicht definiert ist, und b) der Wertebereich der Funktion nicht dem Bildbereich entspricht, d.h. die Funktion ist nicht surjektiv. Wie steht es mit a) und b) bei bijektiven Abbildungen?

15.11.2016, 07:27

Student1411

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Korrekturen.
Zu b) ich weiß ja aus der Angabe, dass sowohl g als auch f bijektive Funktionen sind. Das bedeutet ja, dass beide sowohl injektiv als auch surjektiv sind womit die zwei Eigenschaften die du angeführt hast erfüllt wären?
Was muss ich noch ergänzen damit das "sauber" wird?

15.11.2016, 12:45

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest das ja elementweise betrachten, dass die Umkehrfunktion auf der linken Seite der Gleichung auf dasselbe Element abbildet wie die verketteten Umkehrfunktionen auf der rechten Seite. Aber eigentlich finde ich deine funktionale Herangehensweise besser. Dann noch eine kurze Betrachtung über Definitions- und Bild-/Wertebereiche von $\begin{align*} f,g, f^{-1},g^{-1} \end{align*}$ , wann die kompatibel sind.

Ich weiß ja nicht, was man bei euch voraussetzen darf. Aber eigentlich sollte es klar sein: Man hat zwei bijektive Abbildungen $\begin{align*} f,g \end{align*}$ , deren Umkehrfunktionen wegen der Bijektivität existieren. $\begin{align*} f,g \end{align*}$ verkettet man, also $\begin{align*} f\circ g \end{align*}$ . Hierbei muss der Definitionsbereich von $\begin{align*} f \end{align*}$ gleich dem Wertebereich von $\begin{align*} g \end{align*}$ sein, was ich hier mal "kompatibel" nenne. Damit muss auch die Umkehrfunktion $\begin{align*} (f\circ g)^{-1} \end{align*}$ existieren, denn Verkettungen von bijektiven Abbildungen mit kompatiblen Definitions- und Wertebereichen an der "Nahtstelle", sind ebenfalls bijektiv. Natürlich kann man das auch beweisen, aber ob das bei euch notwendig ist, weiß ich natürlich nicht.

16.11.2016, 16:36

Student1411

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Dir!
Hab einiges gelernt

16.11.2016, 18:10

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Student1411
Hab einiges gelernt

Freut mich Wink

. Du bist jederzeit willkommen.