Vektorprodukt und dessen Normierung

14.11.2016, 10:54

Anthrazit

Vektorprodukt und dessen Normierung

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,
ich studiere im 1. Semester Bauing. und habe einige Schwierigkeiten in Mathe, da mein letzter Schulbesuch 13 Jahre her ist. Ich bin motiviert den Stoff zu lernen, leider stosse ich immer wieder an meine Grenzen, selbst unter Zuhilfenahme von Büchern und dem lieben Internet. Nun hoffe ich, dass ihr meinem Kopf auf die Sprünge helfen könnt:

Ich soll einen Vektor a mit folgenden Eigenschaften bestimmen: |a|=Wurzel26, a orthogonal= (5,1,7) und a orthogonal (6,-9,5).

Meine Ideen:
Nun habe ich zuerst das Kreuzprodukt aus a orthogonal gebildet (68,17,-51) und muss nun diesen Vektor mit Wurzel26 normieren, oder? Zumindest habe ich es aus unserem Skript so verstanden. Nur wie mache ich das? Die Lösung soll wohl a= (4,1,-3) sein. Ferner wird gefragt, ob Vektor a eindeutig bestimmt ist.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich möchte das unbedingt verstehen, denn anhand dieser Übungsaufgabe könnte ich auch meine Hausaufhaben bearbeiten.

Liebe Grüße

14.11.2016, 11:08

klarsoweit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung

Zitat:

Original von Anthrazit
Nun habe ich zuerst das Kreuzprodukt aus a orthogonal gebildet (68,17,-51) und muss nun diesen Vektor mit Wurzel26 normieren, oder?

Im Prinzip ja. Du mußt den Vektor (68,17,-51) durch seine Länge dividieren und mit Wurzel(26) multiplizieren.

Zur Frage der Eindeutigkeit ein kleiner Tipp: wenn du das Ergebnis mit -1 multiplizierst, ist der daraus entstandene Vektor immer noch orthogonal und hat nach wie vor die gewünschte Länge. smile

14.11.2016, 11:43

Anthrazit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung
Hey,

vielen lieben Dank für deine schnelle Antwort.

Die Länge des Vektors würde ich über den Betrag definieren, also Wurzel -68²+17²-51², somit komme ich auf Wurzel 2312...

Beim besten Willen kann ich nicht glauben dass das richtig ist. Zumal wenn ich bedenke, dass wir alle Aufgaben ohne Taschenrechner lösen sollen verwirrt

Ich habe gerade das Kreuzprodukt nochmal nachgerechnet, dies scheint aber korrekt zu sein. Ich finde meinen (Denk) Fehler nicht.

Liebe Grüße

14.11.2016, 11:54

klarsoweit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung

Zitat:

Original von Anthrazit
Die Länge des Vektors würde ich über den Betrag definieren, also Wurzel -68²+17²-51², somit komme ich auf Wurzel 2312...

Offensichtlich hast du da $\begin{eqnarray*} (-68)^2+17^2-51^2 \end{eqnarray*}$ gerechnet, aber nicht $\begin{eqnarray*} (-68)^2+17^2+(-51)^2 \end{eqnarray*}$ , was korrekt wäre.

Merke: bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{2312} \end{eqnarray*}$ kommt ca 48,08 raus. Die Länge eines Vektors ist aber mindestens so groß wie der Wert der betragsmäßig größten Komponente.

Du kannst dir auch die Rechnung etwas vereinfachen, wenn du deinen Kreuzproduktvektor vorher noch umformst: (68,17,-51) = 17 * (4, 1, -3) Augenzwinkern

14.11.2016, 12:03

Anthrazit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung
Hey,

du hast natürlich völlig recht. Klammer setzen vergessen.. anyway komme ich dennoch auf Wurzel 7514 - was hier aber völlig unerheblich scheint, denn offensichtlich hast du durch einen Zaubertrick mein bereits vorhandenes Ergebnis zu dem umgewandelt, welches ich benötige. Mit 17 kürzen? Wieso? Weshalb? Darf der das einfach geschockt

Liebe Grüße

14.11.2016, 12:09

klarsoweit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung
Du meinst dies:

Zitat:

Original von klarsoweit
Du kannst dir auch die Rechnung etwas vereinfachen, wenn du deinen Kreuzproduktvektor vorher noch umformst: (68,17,-51) = 17 * (4, 1, -3) Augenzwinkern

? Das ist simple Umformung eines Vektors (kein Kürzen). Du darfst einen Faktor, der in allen Komponenten enthalten ist, vor den Vektor ziehen.

Übrigens ist 7514 = 17² * 26 und mithin $\begin{eqnarray*} \sqrt{7514} = 17 \cdot \sqrt{26} \end{eqnarray*}$ , falls du lieber damit rechnen möchtest. smile

14.11.2016, 12:22

Anthrazit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung
Ich bin dir wirklich dankbar für deine Mühe, aber ich muss da nochmal nachhaken..

$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} -68 \\ 17 \\ -51 \end{pmatrix} }{\sqrt{7514}} \times \sqrt{26} \end{eqnarray*}$

ist die korrekte Rechnung um auf das vorgegeben Ergebnis (4,1,-3) zu kommen? Erstaunt1

14.11.2016, 12:57

klarsoweit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung
Ja, genau. smile

14.11.2016, 14:01

Anthrazit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung
Dankeschön!
Jetzt bin ich auch auf die Lösung in meinem Skript gekommen, du hast mir sehr geholfen!

Ich hab jetzt ein paar Aufgaben durchgerechnet und bin noch über eine Frage gestolpert. Die Aufgabe ist im Prinzip gleich, gegeben sind

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} <br /> <br /> \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} <br /> <br /> \sqrt{14} \end{eqnarray*}$

Kreuzprodukt ergibt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 27 \\ 18 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vektorlänge

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1089} \end{eqnarray*}$ also 33.

Nun würde meine Formel so aussehen

$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 27 \\ 18 \\ 6 \end{pmatrix} }{\sqrt{1089}} \times \sqrt{14} \end{eqnarray*}$

Nun bekomm ich da aber so krümelige Brüche raus, zB $\begin{eqnarray*} \frac{9\sqrt{14}}{11} \end{eqnarray*}$

Ist das möglich? Ich meine, ich frage mich immer noch wie ich das in der Klausur im Kopf rechnen soll verwirrt

Liebe Grüße

14.11.2016, 14:33

klarsoweit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung

Zitat:

Original von Anthrazit
Kreuzprodukt ergibt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 27 \\ 18 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich komme auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 27 \\ 18 \\ -9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Du kannst das auch leicht nachprüfen, wenn du das Skalarprodukt von deinem Kreuzprodukt-Ergebnis mit den ursprünglichen Vektoren bildest.
Auch hier erleichterst du dir die Normbildung, wenn du den Faktor 9 vor den Vektor ziehst. smile

14.11.2016, 14:42

Anthrazit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung
Verdammte Axt böse

Natürlich hast du wieder recht. Somit komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt{972} \end{eqnarray*}$

und dann auf zB

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{42} }{2} \end{eqnarray*}$

was trotzdem ne doofe Zahl ist... *grummel*

Vielen herzlichen Dank für deine Hilfe Prost

14.11.2016, 14:50

klarsoweit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung

Zitat:

Original von Anthrazit
Somit komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt{972} \end{eqnarray*}$

Hier hast du den gleichen Fehler wie schon oben gemacht. Korrekt ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{1134} \end{eqnarray*}$ . Lehrer

Wie gesagt: einfacher wäre es, wenn du erst den Faktor 9 vor den Vektor ziehst.

Im übrigen weiß ich nicht, wie du von $\begin{eqnarray*} \sqrt{972} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{42} }{2} \end{eqnarray*}$ kommst. verwirrt

14.11.2016, 15:24

Anthrazit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung
Aber wenn ich doch meine Zahlen quadriere, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt{729+324+(-81)} \end{eqnarray*}$

und dann steht da 729+324-81 traurig

Wenn ich die Rechenoperation in der Wurzel komplett in den TR eingebe, komme ich auch auf dein Ergebnis, aber nicht wenn ich den Zwischenschritt mache, den ich brauche, wenn ich in der Klausur ohne TR rechnen soll unglücklich

Wenn ich mit deiner Wurzel aber weiter rechne, komme ich auf Vektoren (3,2,-1), das sieht schon mal besser aus.

BTW: $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{42} }{2} \end{eqnarray*}$ bekomme ich raus wenn ich die Rechenoperation mit meiner ersten Zahl im Vektor durchführe. Ist also Hinfällig.

Heiliges Nudelmonster, da hab ich mir was angetan Hammer

14.11.2016, 15:38

klarsoweit

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RE: Vektorprodukt und dessen Normierung

Zitat:

Original von Anthrazit
Aber wenn ich doch meine Zahlen quadriere, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt{729+324+(-81)} \end{eqnarray*}$

und dann steht da 729+324-81 traurig

Du rechnest einfach falsch. Vorher steht da $\begin{eqnarray*} \sqrt{27^2 + 18^2 + (-9)^2} \end{eqnarray*}$ ! Und (-9)^2 ist nun mal +81.
Merke: bei der Normberechnung ist ein negatives Vorzeichen in den Komponenten des Vektors unerheblich. Daher kannst du dieses direkt in der Rechnung weglassen. smile

Zitat:

Original von Anthrazit
Wenn ich die Rechenoperation in der Wurzel komplett in den TR eingebe, komme ich auch auf dein Ergebnis, aber nicht wenn ich den Zwischenschritt mache, den ich brauche, wenn ich in der Klausur ohne TR rechnen soll unglücklich

Deswegen ja auch mein Tipp, den Vektor vorher in 9 * (3,2,-1) umzuformen. Dann mußt du nur noch die Norm von (3,2,-1) ausrechnen. Und das geht ja problemlos im Kopf. (Natürlich darf man nachher den Faktor 9 nicht vergessen.) smile

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