Linear unabhängige Teilmenge

14.11.2016, 16:32	Mango123	Auf diesen Beitrag antworten »
Linear unabhängige Teilmenge Meine Frage: Gegeben sind die drei Vektoren (t,0,2),(0,t,1),(2,2t,t), die eine Teilmenge von Q sind Man soll herausfinden für welche t diese Teilmenge linear unabhängig ist. Meine Ideen:* Also Vektoren sind ja linear abhängig wenn sie vielfache eines anderen Vektors in der Teilmenge sind. Also sollte ein Vielfaches des ersten Vektors zB. den 2. ergeben. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t \\ 0\\ 3\end{pmatrix} ... =\begin{pmatrix} 0\\ t\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Deswegen habe ich gleichungssysteme für den 1. mit 2. und 1. mit 3. und 2. mit 3. gemacht. Also für den 1. mit 2. Vektor: I: tx=2 \|\|: 2x=t III: 0x=2*t Dann habe ich für jede Spalte auf t und x umgeformt. x müsste doch in alle 3 Gleichungen gleich sein, damit es linear abhängig ist oder? Wie finde ich aber heraus für welche t die x gleich sind und die Vektoren somit linear abgängig?
14.11.2016, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieh dir das hier an: Lineare Unabhängigkeit Vektoren Diese Aufgabe löst man genauso.
15.11.2016, 15:56	Mango123	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke aber ich versteh nicht ganz wie ich bei meinem Beispiel das Gleichungssytem lösen soll, da ich 3 t habe. Soll ich auf t umformen und das ist dann das was t sein muss damit die Vektoren linear unabhängig sind?
15.11.2016, 19:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wende den Gauß-Algorithmus an auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t & 0 & 2 \\ 0 & t & 1 \\ 2 & 2t & t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es geht nicht um ein Gleichungssystem, es geht nur um den Rang der Matrix.
15.11.2016, 21:16	Mango123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mit dem Gauß herausfinden was die Basis ist? Was bringt mir dass dann? Geht es ohne rang auch zum lösen, haben wir noch nicht gelernt...
15.11.2016, 22:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von was ? Statt Gauß geht auch Determinante, aber die kommt doch erst später in der Vorlesung.
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15.11.2016, 22:08	Mango123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben gelernt, dass man mit dem Gauß-Verfahren die Basis finden kann aber in dem Beispiel wüsste ich eh nicht wofür Könntest du mir den Lösungsweg sagen, ich steh gerade total am Schlauch
15.11.2016, 22:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauss liefert eine Basis des Kerns der zur Matrix A gehörigen linearen Abbildung, also eine Basis des homogenen LGS. Die Dimension des Vektorraums ist dim V=dim Kern+dim Bild, und es ist dim Bild=Rang A=Anzahl l.u. Vektoren. Gauss lohnt sich immer.
16.11.2016, 06:37	Mango123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke
16.11.2016, 11:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der schnellste Weg, den ich gefunden habe, geht so: Subtrahiere das doppelte der 2. Zeile von der 1. Zeile. Subtrahiere das t-fache der 2. Zeile von der 3. Zeile. Fall 1: $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ : klar Fall 2: $\begin{eqnarray} t\ne 0 \end{eqnarray}$ : Dividiere die 1. Zeile durch t. Subtrahiere das doppelte der 1. Zeile von der 3. Zeile. Fall 2.1 : Das Ding in der 3. Zeile ist gleich 0 : klar Fall 2.2 : Das Ding in der 3. Zeile ist ungleich 0 : interessant (beachte den Unterschied zwischen rationalem und reellem Vektorraum)

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