Endliche Gruppen

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Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Gruppen
Meine Frage:
Müssen endliche Gruppen nicht immer eine ungerade Anzahl von Elementen haben?

Weil Sie haben ja ein eindeutig bestimmtes Inverses also durch 2 teilbar aber noch das neutrale Element auch eindeutig dazu, also doch dann ungerade oder?

Meine Ideen:
siehe oben
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente können auch selbstinvers sein.

Beispiel: (mit ist eine Gruppe.
 
 
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was macht denn 0+0=1 für einen Sinn hätte jetzt gesagt 1+1=2 und 2 nicht element der Menge?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Golfrold
Aber was macht denn 0+0=1 für einen Sinn

Wo habe ich das geschrieben? verwirrt
0 ist in dieser Gruppe das neutrale Element.

Zitat:
Original von Golfrold
hätte jetzt gesagt 1+1=2 und 2 nicht element der Menge?

Bei einer Gruppe muss ja die Verknüpfung zumindest wieder in die Menge abbilden. Und in dieser Gruppe ist die Verknüpfung eben nicht die gewöhnliche Addition auf den reellen Zahlen (was ja, wie du bemerkt hast, gar keinen Sinn machen würde). Sondern die Addition so, wie ich sie definiert habe.
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, also muss das nicht so sein, ich hatte diesen Gedanken, weil ich beweisen soll, dass eine nichtleere Teilmenge von einer endlichen Gruppe G auch immer eine Gruppe ist unter der Voraussetzung h,l Elemente von H und h ° l ist Element von H. Da wollte ich über Kardinaltität argumentieren, aber das klappt ja dann wohl nicht.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt sogar zu jeder natürlichen (also insbesondere auch zu jeder geraden Zahl) eine Gruppe der Ordnung (z.B. mit der Addition der Restklassen ).


Zitat:
Original von Golfrold
unter der Voraussetzung h,l Elemente von H und h ° l ist Element von H.

Die Formulierung ist dir etwas misslungen. Gemeint ist wohl: Für alle gilt: .
Aber selbst dann reicht diese Voraussetzung noch nicht, damit eine Untergruppe von ist. Steht da vielleicht noch eine weitere Voraussetzung?
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Nur das G endlich ist und H nicht leer sowie, dass H eine Teilmenge von G ist. also da steht impliziert .

Aber glaube jetzt nicht, dass es am Implikationspfeil liegt.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, für endliche Gruppen reicht diese Bedingung.

Rechne einfach die Definition einer Gruppe nach. Dabei könnte das nützlich sein: In einer endlichen Gruppe der Ordnung gilt für alle Gruppenelemente , dass gleich dem neutralen Element ist.
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das könnte ich probieren, aber wir hatten in keiner Vorlesung "Ordnung" eingeführt und kann damit echt nix anfangen verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Ordnung einer Gruppe ist einfach die Anzahl der Gruppenelemente gemeint. Augenzwinkern
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »



würde ja dann heissen, dass 1^4 = 0 sein sollte?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht nochmal etwas ausführlicher, um Missverständnissen vorzubeugen:
In einer Gruppe definiert man die Schreibweise für . Also die n-fache Verknüpfung von mit sich selbst.

Wenn die Verknüpfung die Addition ist, ist also . Dafür schreibt man aber (fast) immer (einfach, weil man diese Schreibweise für die n-fache Addition aus den reellen Zahlen gewohnt ist).
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okay, aber mir wird jetzt nicht so klar, wie ich zumbeipspiel zeigen soll, dass ein neutrales Element existiert oder die Assoziativität gilt, wenn ich nix über H weiss auser das es eine Teilmenge von G ist.

Kann ich vielleicht auch den Satz verwenden, dass wenn H Teilmenge G ist dann sind 3 Aussagen äquivalent:
H ist Untergruppe von G
für alle a,b element H gilt: a * b und a^(-1) element H
für alle a,b element H gilt: a*b^(-1) element H

Glaube war auch angedacht den zu nehmen aber natürlich nicht zwingend.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Golfrold
Hmm okay, aber mir wird jetzt nicht so klar, wie ich zumbeipspiel zeigen soll, dass ein neutrales Element existiert oder die Assoziativität gilt, wenn ich nix über H weiss auser das es eine Teilmenge von G ist.

Assoziativität sollte sofort klar sein: gilt für alle (weil eine Gruppe ist); also erst recht für alle .

Aber wenn du diesen Satz verwenden darfst, geht es auch etwas kürzer. Du brauchst davon die Aussage: ist Untergruppe von .

Als Voraussetzung hast du jetzt gegeben, dass .
Wenn du zeigst, dass daraus in einer endlichen Gruppe folgt, dass für alle gilt, weißt du also mit der Aussage oben, dass eine Untergruppe ist.

Und das kannst du mit dem Tipp, den ich dir oben gegeben habe, machen.
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ergibt Sinn aber verstehe nochimmer die Gültigkeit des Tipps nicht. Warum sollte dann bei meinem Beispiel mit der Menge 0 1 und 2 dann 2×3 das neutrale Element sein, wenn wie du gesagt hast bei addition für jedes Element n mal a gleich e gilt.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Gruppe hat die Ordnung 4, das neutrale Element ist .

Die 4-fache Verknüpfung von mit sich selbst ist . Passt also. Augenzwinkern
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe einfach nicht wie man auf 4×3=0 kommt. Hätte da halt 12 hingeschrieben. Ich weiss doch nur das man normal mit plus verknüpft wieso solltw die Verknüpfung dann so komisch abbilden?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre es dir lieber, wenn statt + irgendein anderes Symbol verwendet wird, um zu kennzeichnen, dass es sich hier NICHT um das gleiche + handelt, das du kennst?

Man könnte zum Beispiel schreiben.
Eigentlich wird von Mathematikern aber erwartet, dass sie verstehen können, das gleiche Symbole nicht immer das gleiche bedeuten müssen. Dafür gibt es einfach nicht ausreichend Symbole.
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja das verstehe ich schon, aber komme hinter dieses Gesetz einfach nicht. Mir ist bewusst das die Verknüpfung auch wieder in H sein muss also auch 3+3+3+3 aber wieso ist das dann 2+3+3 und 1+3=0?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Stimmt, für endliche Gruppen reicht diese Bedingung.


Aber ein Hinweis, warum das nur für endliche Gruppen reicht, wäre trotzdem gut. Denn eigentlich heißt es:
Aus folgt , dass zu jedem Element auch sein Inverses in enthalten ist, sowie das neutrale Element. Die Bedingung reicht deswegen für endliche Gruppen, weil die zyklische UG, die durch erzeugt wird, ebenfalls UG von ist, also auch . Für unendliche Gruppen reicht dies nicht, wie das Beispiel der Teilmenge zeigt.
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das verstehe ich immer noch nicht so wirklich. verwirrt

Wie beweise ich, oder der einfachheitshalber erkläre ich mir denn, dass wenn h,g in H liegt dann auch gilt das auch h°g^(-1) in H ? Der "Satz", dass bei einer endlichen Menge für jedes Element a aus der Menge gilt, dass a^Ordnung das neutrale Element ist verstehe ich auch noch nicht so ganz. Ich kann mir schon vorstellen, dass es darum geht, dass wie bei unserem Beispiel 3+3 rechnet ein Element aus H rauskommen muss ( nach Voraussetzung) und das Verknüpft muss ja dann letztendlich wieder ein anderes sein etc. und das bis zum neutralen Element? Ich muss das ja aber auch zeigen, wenn ich es benutze und da fehlt mir halt jeglicher Ansatz und h°g^(-1) kann ich auch nicht wirklich zeigen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Golfrold
Nunja das verstehe ich schon, aber komme hinter dieses Gesetz einfach nicht. Mir ist bewusst das die Verknüpfung auch wieder in H sein muss also auch 3+3+3+3 aber wieso ist das dann 2+3+3 und 1+3=0?


Du solltest dich davon lösen, die Operation + mit der bei den reellen oder ganzen Zahlen zu identifizieren. Es handelt sich bei um die zyklische Gruppe der Ordnung 4 ("die", weil es nur eine davon gibt). Zyklische Gruppe bedeutet, dass es ein Element gibt, dessen Potenzen alle Gruppenelemente bildet. (Es kann mehrere Elemente geben, die eine Gruppe erzeugen.) "Potenzen" deshalb, weil die Gruppenoperation defaultmäßig als (Gruppen-)Multiplikation bezeichnet wird. Im Falle von sogenannten abelschen Gruppen, das sind Gruppen, bei denen die Multiplikation kommutativ ist, wird die Gruppenoperation meistens als Addition bezeichnet, mit dem Symbol + für den Operator. Entsprechend ist die n-te "Potenz" von einem Element dann auch
.

Die Gruppe ist abelsch und die 1 soll ein erzeugendes Element sein, 0 das neutrale Element. (Dass die Elemente Zahlen als Symbole haben, tut nichts zur Sache, man könnte die Gruppe beispielsweise auch mit symbolisieren, mit dem neutralen Element als typische Bezeichnung.) In Anlehnung an die natürlichen Zahlen schreibt man . Die letzte Gleichung schließt den Kreis (deswegen zyklisch!). Die Operation muss sich immer innerhalb der Gruppe bewegen, es bleibt also für die 4-fache Addition des erzeugenden Elements nur noch das neutrale Element als Ergebnis übrig.

Addiert (bzw. eigentlich "multipliziert") man zwei Elemente, bekommt man ein anderes Element der Gruppe. Es ist in der obigen Notation
.
Sowie


Die 3 ist auch Erzeuger der Gruppe, wie man durch Bildung der Vielfachen von 3 sehen kann:
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich wohl, wenn man weiss, dass das neutrale Element in der Gruppe ist und die Verknüpfung auch wieder in der Gruppe ist, dann muss letztendlich auch ein Element n mal verknüpft mit sich selbst ( n = Ordnung der Gruppe) auch das neutrale Element ergeben, aber woher weiss ich denn, dass in H auch das neutrale Element liegt? Da macht es für mich wenig Sinn einfach zu sagen, ja da muss auch ein neutrales Element drin sein, wenn H endlich ist weil a^n=e.
Da können doch sonst irgendwelche Elemente drin sein.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Golfrold
Wie beweise ich, oder der einfachheitshalber erkläre ich mir denn, dass wenn h,g in H liegt dann auch gilt das auch h°g^(-1) in H ? Der "Satz", dass bei einer endlichen Menge für jedes Element a aus der Menge gilt, dass a^Ordnung das neutrale Element ist verstehe ich auch noch nicht so ganz. Ich kann mir schon vorstellen, dass es darum geht, dass wie bei unserem Beispiel 3+3 rechnet ein Element aus H rauskommen muss ( nach Voraussetzung) und das Verknüpft muss ja dann letztendlich wieder ein anderes sein etc. und das bis zum neutralen Element? Ich muss das ja aber auch zeigen, wenn ich es benutze und da fehlt mir halt jeglicher Ansatz und h°g^(-1) kann ich auch nicht wirklich zeigen.


Es liegt eine endliche Gruppe vor. Sie sei nicht unbedingt abelsch. Bildet man die Potenzen eines Elements , also , dann muss es einen kleinsten Exponenten geben, sodass
,
wieder mit als dem neutralen Element. Die Zahl ist die sogenannte Ordnung von . Da nun aber gilt


und


folgt


Jede Potenz eines Elements einer Untergruppe muss innerhalb dieser Untergruppe liegen, damit auch das inverse Element von , wie man durch die obige Identifikation sehen kann.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Golfrold
..., aber woher weiss ich denn, dass in H auch das neutrale Element liegt?


Weil mit auch das Element in liegt, wie ich gerade gezeigt habe. Benutzt du dann die Bedingung
,
und setzt , dann folgt, dass auch das neutrale Element in enthalten sein muss.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Golfrold
..., dann muss letztendlich auch ein Element n mal verknüpft mit sich selbst ( n = Ordnung der Gruppe) auch das neutrale Element ergeben,....


Aber Vorsicht: Es kann auch eine kleinere Zahl als geben, , sodass . Aus dem in der Gruppentheorie wichtigen Satz von Lagrange folgt, dass das kleinste derartige ein Teiler von sein muss. Die kleinste derartige positive Zahl ist die Ordnung von .

[Der Satz von Lagrange sagt eigentlich aus, dass die Ordnung jeder Untergruppe einer endlichen Gruppe die Ordnung von teilen muss. Da aber die Ordnung eines Elements gerade die Ordnung der von erzeugten (zyklischen) UG von ist, folgt, dass ebenfalls die Ordnung von teilen muss. Beachte die überladene Bedeutung des Begriffs "Ordnung"!]
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber bei dem Beweis, dass g^(-1) auch in H liegt benutzt du ja irgendwie schon, dass e in H liegt verwirrt .
Oh man, ich komme da einfach nicht hinter unglücklich
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das benutze ich nicht, das folgere ich. Nochmal: Es soll doch gelten:

Nun setze ich . Aufgrund der Untergruppenbedingung muss also gelten

Ebenso gilt induktiv

Also natürlich auch für . Es ist nun

und

Aus diesen beiden Gleichungen folgt
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe soweit alles, bis m=ord(g) da hätte ich jetzt eigentlich gesagt das da ord(H) hin muss und danach g ° g^(-1)=e ist doch einfach nur erstmal Defintion des Inversen quasi.

Verstehe dann nicht wieso g ° g^(m-1) = e gelten soll?

PS: Wo kann ich denn solche Formel wie du vernünftig aufschreiben. Der Formeleditor hat gefühlt nur 10 Funktionen.
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe es gerade verstanden, wenn G eine endliche Menge ist und H eine Teilmenge, dann muss auch H eine endliche Anzahl an Elementen haben. Wenn H dann auch noch für alle Elemente abgeschlossen ist, dann muss sozusagen bei jeglicher Verknüpfung "irgendwann" das neutrale Element rauskommen, weil sie ja sonst nicht endlich wäre sondern immer wieder ein anderes Element rauskommen würde oder?

Ist total unmathematisch, dass ist mir bewusst, aber muss es erstmal verstehen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Golfrold
Ich glaube ich habe es gerade verstanden, wenn G eine endliche Menge ist und H eine Teilmenge, dann muss auch H eine endliche Anzahl an Elementen haben. Wenn H dann auch noch für alle Elemente abgeschlossen ist, dann muss sozusagen bei jeglicher Verknüpfung "irgendwann" das neutrale Element rauskommen, weil sie ja sonst nicht endlich wäre sondern immer wieder ein anderes Element rauskommen würde oder?

Ist total unmathematisch, dass ist mir bewusst, aber muss es erstmal verstehen.


"Unmathematisch", aber genau das ist der Punkt. Jetzt könnte jemand auf die Idee kommen, dass die Potenzen immer in der zyklischen Gruppe rumfahren, aber nie das neutrale Element treffen. Du kannst als Übung zeigen, dass dem nicht so ist, dass es also eine Potenz geben muss, die gleich dem neutralen Element ist. Tipp: Schubfachprinzip.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Golfrold

PS: Wo kann ich denn solche Formel wie du vernünftig aufschreiben. Der Formeleditor hat gefühlt nur 10 Funktionen.


Du kannst die Formeln in Latex codiert sofort ins Editorfenster schreiben, umschlossen von latex- oder mathjax-Tags. Ich rate dir, den Zitat-Button zu nutzen. Dann kannst du sehen, wie andere Leute die Formeln schreiben. Kopiere das einfach. Mit der Zeit merkst du dir die Token (ein Token ist beispielsweise \sqrt{x} = (ohne das {x} wird nix dargestellt, deswegen hab ich's dazugeschrieben) oder \Rightarrow = ). Es gibt auch genügend Seiten im Netz, die Latex-Token mit ihren Bedeutungen auflisten, beispielsweise diese: https://de.wikipedia.org/wiki/Hilfe:TeX
In mathjax sind nur die für mathematische Formeln relevanten Token enthalten. Latex ist noch viel umfangreicher.
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wenn ich das zeigen könnte, dann stände ich auch dahinter, dass es irgendwann das neutrale Element sein muss. Schubfachprinzip sagt mir auch was, aber das Prinzip ist da ja, dass ich mehr Elemente habe als ich "Schubfächer" habe. Ich weiss nicht wie ich diese Bildlichkeit jetzt auf dieses Beispiel übertrage.
Wahrscheinlich habe ich irgendwie mehr Verknüpfungen als Elemente oder irgendwie so? verwirrt
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Denk nochmal darüber nach. Ich muss jetzt weg.
Golfrold Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich habe jetzt tatsächlich etwas raus, wobei ich wirklich verstehe, was ich dort gemacht habe und hoffe, dass es jetzt (auch wenn Syntax eventuell noch nicht perfekt) die Lösung richtig ist.
Beweis:

Da H endlich ist und g°h aus H für alle g,h aus H nach Voraussetzung gilt muss a^n =e gelten mit n= Kardinalität der Menge H.

Beweis für a^n =e mit Kardinalität von H=endlich :

Bei einer n-elementigen Menge (H) muss nach den ersten n+1 Potenzen eine gleiche Potenz vorkommen. ( Sonst gebe es n+1 verschiedene Elemente in einer n-elementigen Menge -> Widerspruch).
Daher muss g^(n) = e sein unzwar für alle g aus H.

g^n kann man anders schreiben als: g^(n-1) ° g weil n ja gerade das n-malige verknüpfen des Elements g beschreibt.

mit g^n =e gilt also auch g^(n-1) ° g =e sowie nach Definition: g^(-1) ° g=e=g ° g^(-1) daraus folgt das g^(n-1)=g^(-1) .

Da g^(n-1) Element aus H ist ist g^(-1) auch aus H also hat jedes Element H ein Inverses g^(-1).

Benutze den Satz:

"Sei H eine nichtleere Teilmenge von G dann sind folgende Aussagen äquivalent:
H ist eine Untergruppe von G.
Für alle a,b aus H gilt: a°b aus H, a^(-1) aus H.
Für alle a,b aus H gilt: a°b^(-1) aus H."

Die zweite Aussage wurde gezeigt, weil a°b aus H nach Voraussetzung gilt und es wurde gezeigt, dass e aus H ist und damit wurde gezeigt, dass für alle g aus H gilt: g^(-1) existiert in H.

Daher ist H eine Untergruppe.

Ich bin mir nur nicht 100% sicher, dass die zweite Aussage des Satzes genau das ist, was ich gemacht, also das dieses a^(-1) aus H das ist was ich gemacht habe also g^(-1) aus H.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Golfrold
Da H endlich ist und g°h aus H für alle g,h aus H nach Voraussetzung gilt muss a^n =e gelten mit n= Kardinalität der Menge H.

Du weißt ja noch gar nicht, ob eine Gruppe ist. Deswegen musst du hier nehmen.
(Diese Aussage hat auch noch gar nichts mit zu tun.)
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ein sehr richtiger Einwand von @10001000Nick1.

Ich nehme mal an, dein soll ein beliebiges Element in sein. Die Kardinaliität von hat aber in diesem Stadium noch gar keine Bedeutung, da du ja erst nachweisen willst, dass eine Untergruppe ist. Von daher kannst du auch nicht einfach konstatieren, dass oder auch nur , dass die Kardinalität der Teilmenge teilt.

Was du nur sagen kannst:
1.) Jede Potenz von ist nach der Voraussetzung in enthalten.

2.) Es gibt Exponenten , sodass , wegen des Schubfachprinzips.

Jetzt kannst du weiter machen.
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