Bew. Injektivität, Linksinverse

14.11.2016, 22:27

Sito

Bew. Injektivität, Linksinverse

Abend zusammen,

folgende Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} V,W \end{eqnarray*}$ sind endl. dim. Vektorräume über $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T\in Hom(V,W) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow T \end{eqnarray*}$ hat eine Linksinverse, d.h. es gibt $\begin{eqnarray*} S\in Hom(W,V) \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} ST=I_V \end{eqnarray*}$

Nun ehrlich gesagt weiss ich nicht so recht wie beginnen. Da wir eine Äquivalenz haben gilt es zwei Richtungen zu beweisen:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ injektiv, wähle $\begin{eqnarray*} B=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Ich weiss, dass wegen der Injektivität gilt $\begin{eqnarray*} \ker(T)=\{0_V\} \end{eqnarray*}$ . Da beide VR endl. dim. sind gibt es doch eine eindeutige Darstellung $\begin{eqnarray*} T(v_i)=w_i \end{eqnarray*}$ (war glaube ich ein Theorem aus der Vorlesung, bin mir hier aber nicht sicher).

Und hier hört es schon auf... Was wäre denn hier der Ansatz, dass Ziel ist es ja die Existenz des oben beschriebenen $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, aber ich sehe nicht ganz wie ich das mit diesen Informationen schaffen soll....

14.11.2016, 22:37

10001000Nick1

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RE: Bew. Injektivität, Linksinverse

Zitat:

Original von Sito
Da beide VR endl. dim. sind gibt es doch eine eindeutige Darstellung $\begin{eqnarray*} T(v_i)=w_i \end{eqnarray*}$ (war glaube ich ein Theorem aus der Vorlesung, bin mir hier aber nicht sicher).

Meinst du damit folgendes? $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_n \end{eqnarray*}$ .
Das ist richtig, gilt aber für beliebige lineare Abbildungen, nicht nur für injektive.

Wichtiger hier ist folgendes: Injektive Homomorphismen bilden linear unabhängige Mengen auf linear unabhängige Mengen ab.
Das Bild deiner Basis ist also linear unabhängig. Diese Menge kannst du zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ergänzen und dann den Homomorphismus $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ mit den gewünschten Eigenschaften definieren.

14.11.2016, 22:52

Sito

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Zitat:

Injektive Homomorphismen bilden linear unabhängige Mengen auf linear unabhängige Mengen ab.

Nun damit hast du schon meine grösste Frage beantwortet... Gibt es dazu ein Lemma, oder ist das ein Korollar aus einem? Ich konnte es leider nirgends in meinen Aufzeichnungen finden..

In diesem Fall würde der Bew. folgendermaßen gehen:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ injektiv, wähle $\begin{eqnarray*} B=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Ich weiss, dass wegen der Injektivität gilt $\begin{eqnarray*} \ker(T)=\{0_V\} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ injektiv ist, werden lin. unabh. Mengen auf lin. unabh. Mengen abbgebildet, sprich $\begin{eqnarray*} T(v_i)=w_i \end{eqnarray*}$ ist immer noch lin. unabh $\begin{eqnarray*} \forall v_i\in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\le i\le n \end{eqnarray*}$ . Nach Steinitz lässt sich die Menge der lin. unabh. Vektoren $\begin{eqnarray*} (w_1,...,w_n) \end{eqnarray*}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ergänzen. Nun sei $\begin{eqnarray*} S\in Hom(W,V) \end{eqnarray*}$ eine Abb. mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} ST=I_V \end{eqnarray*}$ .

Geht das so als Beweis? Ich meine, ich habe nichts über $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ausgesagt bzw. wie sich die Abb. verhält...

14.11.2016, 23:03

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Sito
Gibt es dazu ein Lemma, oder ist das ein Korollar aus einem? Ich konnte es leider nirgends in meinen Aufzeichnungen finden..

Wenn ihr das noch nicht gezeigt habt, kannst du das ja noch machen. Das geht direkt mit der Definition von linearer Unabhängigkeit.

Zitat:

Original von Sito
Geht das so als Beweis? Ich meine, ich habe nichts über $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ausgesagt bzw. wie sich die Abb. verhält...

Und genau deswegen reicht das nicht als Beweis. Du hast überhaupt nicht gesagt, warum ein solches $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ existieren sollte.
Den Homomorphismus $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ kannst du definieren, indem du die Bilder der Vektoren einer Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ angibst (nämlich genau von der Basis, von der du gerade gesprochen hast).
Das kannst du natürlich nicht irgendwie machen, sondern so, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ dann die gewünschten Eigenschaften hat.

Noch etwas zu deiner Formulierung:

Zitat:

Original von Sito
sprich $\begin{eqnarray*} T(v_i)=w_i \end{eqnarray*}$ ist immer noch lin. unabh $\begin{eqnarray*} \forall v_i\in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\le i\le n \end{eqnarray*}$ .

Das solltest du so schreiben: Sei $\begin{eqnarray*} w_i:=T(v_i) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Menge $\begin{eqnarray*} \{w_1, ..., w_n\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

14.11.2016, 23:50

Sito

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Zitat:

Den Homomorphismus $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ kannst du definieren, indem du die Bilder der Vektoren einer Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ angibst (nämlich genau von der Basis, von der du gerade gesprochen hast).

Entschuldige, aber leider verstehe ich nicht ganz wie du das meinst.... Also meine Idee bzgl. $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist es alle Elemtente die von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ getroffen werden, wieder auf ihr ursprüngliches $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ abzubilden und, alles was von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nicht getroffen wird auf den Nullvektor $\begin{eqnarray*} 0_V \end{eqnarray*}$ abzubilden. Mit diesen Eigenschaften müsste doch $\begin{eqnarray*} ST=I_V \end{eqnarray*}$ gelten. Wenn ich nur hinschreibe $\begin{eqnarray*} v_i:=S(w_i) \end{eqnarray*}$ setzt dass doch wieder voraus, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ injektiv ist...

Zitat:

Wenn ihr das noch nicht gezeigt habt, kannst du das ja noch machen. Das geht direkt mit der Definition von linearer Unabhängigkeit.

Es gilt also zu zeigen, dass folgendes gilt:
Sei $\begin{eqnarray*} T \in Hom(V,W) \end{eqnarray*}$ injektiv, $\begin{eqnarray*} S \in V \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist genau dann lin unabh. wenn es $\begin{eqnarray*} T(S) \end{eqnarray*}$ auch ist

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} S=\{s_1,...,s_n\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ .
Nun sei $\begin{eqnarray*} \lambda_1 T(s_1)+...+\lambda_nT(s_n) = 0 \Rightarrow T(\lambda_1s_1+...+\lambda_ns_n)=0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ linear ist gilt $\begin{eqnarray*} T(0)=0 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1s_1+...+\lambda_ns_n =0 \end{eqnarray*}$ . Da alle Elemente von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ lin. unabh. sind $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0 \end{eqnarray*}$

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda_1,...,\lambda_n \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1 s_1+...+\lambda_ns_n = 0 \Rightarrow T(\lambda_1 s_1+...+\lambda_ns_n ) = T(0) \Rightarrow T(\lambda_1 s_1+...+\lambda_ns_n ) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1T(s_1)+...+\lambda_nT(s_n) =0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} T(s),...,T(s_n) \end{eqnarray*}$ lin. unabh. sind $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1=...=\lambda_n=0 \end{eqnarray*}$

Wie es aussieht haben wir das sehr wohl gezeigt, und ich hatte sogar schon damals mit der Aufgabe Probleme...

15.11.2016, 00:09

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Sito
Also meine Idee bzgl. $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist es alle Elemtente die von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ getroffen werden, wieder auf ihr ursprüngliches $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ abzubilden und, alles was von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ nicht getroffen wird auf den Nullvektor $\begin{eqnarray*} 0_V \end{eqnarray*}$ abzubilden.

$\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ soll ein Homomorphismus sein (also eine lineare Abbildung); und das wirst du mit diesem Vorgehen im Allgemeinen nicht erreichen.

Der Ansatz ist aber gut. Bloß dass du dieses Verfahren erstmal nur auf die Basisvektoren anwendest: Wir hatten eine linear unabhängige Menge $\begin{eqnarray*} \{w_1, ..., w_n\} \end{eqnarray*}$ und ergänzen diese zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} W: \{w_1, ..., w_n, \tilde w_{n+1}, ..., \tilde w_m\} \end{eqnarray*}$ .
Die Bilder dieser Basisvektoren unter der Abbildung $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ bestimmst du jetzt nach dem obigen Verfahren. Damit hast du eindeutig die Abbildung $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ festgelegt und musst jetzt noch zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} ST=I_V \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt zu dem anderen Beweis:

Zitat:

Original von Sito
$\begin{eqnarray*} T(\lambda_1s_1+...+\lambda_ns_n)=0 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ linear ist gilt $\begin{eqnarray*} T(0)=0 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_1s_1+...+\lambda_ns_n =0 \end{eqnarray*}$ .

Das Argument $\begin{eqnarray*} T(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist hier das falsche. Du brauchst ja, dass $\begin{eqnarray*} 0_V \end{eqnarray*}$ der einzige Vektor mit $\begin{eqnarray*} T(0_V)=0_W \end{eqnarray*}$ ist. Und hier kommt die Injektivität ins Spiel: $\begin{eqnarray*} \ker(T)=\{0_V\} \end{eqnarray*}$ .
Wenn du das noch änderst, stimmt das.

Und auch die Rückrichtung ist genau richtig. smile

(Für diese Richtung hast du die Injektivität übrigens gar nicht gebraucht; Urbilder linear unabhängiger Mengen unter linearen Abbildungen sind immer linear unabhängig.)

Edit: Ich sehe gerade, dass es in diesem Thread auch schon um dieses Thema ging.

17.11.2016, 19:32

Sito

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Zitat:

Die Bilder dieser Basisvektoren unter der Abbildung $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ bestimmst du jetzt nach dem obigen Verfahren.

Entschuldige, aber wie meinst du dass "bestimmst"? Ich verstehe leider wirklich nicht ganz was hier das konkrete Vorgehen ist...

Zitat:

Du brauchst ja, dass $\begin{eqnarray*} 0_V \end{eqnarray*}$ der einzige Vektor mit $\begin{eqnarray*} T(0_V)=0_W \end{eqnarray*}$ ist. Und hier kommt die Injektivität ins Spiel: $\begin{eqnarray*} \ker(T)=\{0_V\} \end{eqnarray*}$ .

Sehr schön, vielen Dank fürs drüberschauen!

18.11.2016, 13:57

10001000Nick1

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Ich meinte das hier:

Zitat:

Das sollst du aber nur auf die Basisvektoren $\begin{eqnarray*} \{w_1, ..., w_n, \tilde w_{n+1}, ..., \tilde w_m\} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Das heißt: $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ bildet alle $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ ab (für $\begin{eqnarray*} 1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ ).
Und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ bildet alle $\begin{eqnarray*} \tilde w_i \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 0_V \end{eqnarray*}$ ab (für alle $\begin{eqnarray*} n+1\leq i\leq m \end{eqnarray*}$ ).

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