Konvergenz

15.11.2016, 15:46

claudia2

Konvergenz

Meine Frage:
Guten Nachmittag,

wie soll ich zeigen das die folge konvergent ist oder nicht ?!

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (-1)^{n} (1+\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe gedacht mit dem Leibniz kriterium würde es klappen aber die folge (1+1/n) ist keine nullfolge. Also was nun ?

15.11.2016, 15:50

klarsoweit

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von claudia2
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (-1)^{n} (1+\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

Gemeint ist: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n} (1+\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

Das Stichwort mit der "Nicht-Nullfolge" ist eigentlich schon die Lösung. Was ist denn das notwendige Kriterium, damit eine Reihe konvergiert?

15.11.2016, 16:08

claudia12

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RE: Konvergenz
Das notwendige kriterium wäre das

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} =0 \end{eqnarray*}$

somit konvegiert diese reihe nicht.

Ich hätte einige fragen:

Nehmen wir an das wäre eine Klausuraufgabe.

Wie müsste ich dies Perfekt zeigen ?

Es würde ja nicht reichen das ich einfach schreibe da keine nullfolge gegeben ist konvegiert die reihe nicht.

Muss ich als an = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n} (1+ \frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

annehmen oder :

an= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (1+ \frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$ ?

beim Leibniz kriterium müsste ich ja das 2te annehmen stimmt das ?

und wenn ich nun zeige das die Reihe nicht konvegiert wäre dies Mathematisch korrekt ?

$\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \lim_{n \to \infty } 1+ \frac{1}{n}= (-1)^{n} * 1 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Da die Folge keine nullfolge ist Konvegiert die Reihe nicht.

15.11.2016, 16:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von claudia12
Muss ich als an = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n} (1+ \frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

annehmen oder :

an= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (1+ \frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$ ?

Weder noch, denn $\begin{align*} a_n \end{align*}$ kennzeichnet ja das Reihenglied. Bei dir ist das einfach $\begin{align*} a_n = (-1)^{n} \left(1+ \frac{1}{n} \right) \end{align*}$ . Und als Nachweis, dass das keine Nullfolge ist, genügt z.B. vollkommen $\begin{align*} |a_n| = 1+ \frac{1}{n} > 1 \end{align*}$ .

15.11.2016, 17:02

claudia12

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stimmt es denn was ich gemacht habe das es keine nullfolge ist ??

16.11.2016, 09:28

klarsoweit

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Nun ja, das Ergebnis, daß (a_n) keine Nullfolge ist, ist korrekt. Nur der Nachweis (siehe Hinweis von HAL 9000) sollte auch mathematisch stimmig sein. smile

16.11.2016, 09:47

Claudia12

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Aber warum betrachten wir |an| ?
Und wäre es wirklich am der stelle falsch den grenzwert zu bestimmen und zu sagen das es keine nullfolge ist ?
Eine nullfolge ist doch gegeben wenn eine folge gegen null konvegiert.
Danke smile

16.11.2016, 10:01

klarsoweit

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Nun ja, das Problem ist eben, daß $\begin{align*} a_n = (-1)^{n} \left(1+ \frac{1}{n} \right) \end{align*}$ keinen Grenzwert hat. Statt sich mit Konvergenzfragen herumzuschlagen, ist es einfacher festzustellen, daß |a_n| > 1 ist. Da kommt eine Konvergenz gegen Null allemal nicht in Frage.

16.11.2016, 10:17

Claudia12

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Warum aber an in betrag?
an kann ja auch negativ werden?
Ich verstehe nicht ganz wann ich von etwas den limes berechnen kann?

16.11.2016, 10:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von Claudia12
Warum aber an in betrag?

Weil es sich Mathematiker auch einfach machen. Big Laugh

Man sieht da eine Folge, die nicht konvergiert. (Die Folge springt "irgendwie" zwischen -1 und 1 herum.) Statt zu zeigen, daß die Folge nicht konvergiert (das könnte lästig werden), zeigt man, daß der Betrag der Folge > 1 ist. Eine Konvergenz gegen Null ist damit ausgeschlossen, denn würde die Folge gegen Null konvergieren, dann würde auch der Betrag der Folge gegen Null konvergieren. Das ist nun aber wegen |a_n| > 1 ausgeschlossen.

Da dieser Zusammenhang offensichtlich ist, wird das auch nicht der ganzen epischen Breite ausgesprochen. Augenzwinkern

16.11.2016, 10:59

Claudia12

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Wenn eine folge im Betrag konvegiert dann ist diese Folge ja Absolutkonvergent aus der Absoluten komvergent ergibt sich das die folge ohne betrag Konvegiert.
Und da jetzt in diesem Fall die filge nicht absolut komvegiert konvegiert diese auch nicht ohne betrag.
Könnte ich das so annehmen ? Freude

16.11.2016, 11:06

Claudia12

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Eine andere frage noch..
Die harmonische reihe ist ja der Beweis das es nicht reicht das der Grenzwert von der folge =0 ist.

Wie kann ich beweisen das die Harmonische reihe divigiert ?

16.11.2016, 11:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Claudia12
Wenn eine folge im Betrag konvegiert dann ist diese Folge ja Absolutkonvergent aus der Absoluten komvergent ergibt sich das die folge ohne betrag Konvegiert.
Und da jetzt in diesem Fall die filge nicht absolut komvegiert konvegiert diese auch nicht ohne betrag.

Hm. Mir scheint, daß du da die Begriffe Reihe und Folge etwas vermischst.

Zu Folgen: wenn der Betrag einer Folge konvergiert, muß nicht auch die Folge selbst konvergieren. Beispiel: $\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Claudia12
Die harmonische reihe ist ja der Beweis das es nicht reicht das der Grenzwert von der folge =0 ist.

Wie kann ich beweisen das die Harmonische reihe divigiert ?

Ein möglicher Ansatz ist der Beweis der folgenden Ungleichung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{2^n}~\frac{1}{k} \geq \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ smile

16.11.2016, 11:54

Claudia12

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Hmm aber eben zeigten wir doch damit die reihe konvegiert muss zwangsläufig der grenzwert der folge gleich 0 sein.
Hier kann ich doch sagen , da der betrag von der folge nicht gegen 0 konvegiert konvegiert auch an nicht gegen 0..
Du hast ja gesagt das ein Mathematiker sich es einfach macht und nur überprüft ob der betrag von an gegen 0 konvegiert und wenn es nicht der fall ist kann an auch nicht gegen 0 konvegieren.
Ich beziehe das auf Absolut konvergenz oder hat das nichts damit zu tun?

Aber passend zu deinem Beispiel:

Wir sollen in einer Ü-Aufgabe Wiederlegen:
Falls |an| konvegiert muss an nicht konvegieren

16.11.2016, 11:57

Claudia12

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Sorry die Aufgabe lautet:

) ist (|an|) eine cauchy folge so ist an eine cauchy folge sein.

Kann ich hierzu nicht einfach sagen das bspw. |(-1)^n| konvergent ist also eine cauchy folge ist
Aber (-1)^n es nicht ist

16.11.2016, 12:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Claudia12
Hier kann ich doch sagen , da der betrag von der folge nicht gegen 0 konvegiert konvegiert auch an nicht gegen 0..

Dagegen ist nichts einzuwenden. Nur mußt du dann auch zeigen, daß der Betrag von der Folge nicht gegen 0 konvergiert (was jetzt aber auch kein Problem darstellt).

16.11.2016, 12:37

claudia12

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und was würdest du zu meiner anderen frage sagen ?

ist (|an|) eine cauchy folge so ist an eine cauchy folge sein.
Dieses sollen wir wiederlegen..

Kann ich hierzu nicht einfach sagen das bspw. |(-1)^n| konvergent ist also eine cauchy folge ist
Aber (-1)^n es nicht ist

16.11.2016, 13:00

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Ja, das wäre eine Option. smile

16.11.2016, 13:06

claudia12

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Ich habe jetzt die Aufgabe so gelöst:

nehmen wir an $\begin{eqnarray*} a_{n} =(-1)^{n} \end{eqnarray*}$

nun betrachten wir $\begin{eqnarray*} a_{n} =|(-1)^{n}| \end{eqnarray*}$

eine teilfolge der gegebenen folge..

diese Konvegiert da damit eine konstante folge gegeben ist für diese gilt:

$\begin{eqnarray*} a_{n} =a. |an-a| =| a-a| =0 < epsilon \end{eqnarray*}$

also da |an| konvergent ist muss |an|eine Cauchy folge sein.

aber $\begin{eqnarray*} a_{n} =(-1)^{n} \end{eqnarray*}$ ist divergent

da für die geraden indizes lim =1 gilt
und für die ungeraden indizes lim =.1 gilt

es ist notwendig das von einer konvergente folge die gegen a konvegiert alle teilfolgen von der folge gegen a konvegieren, da es in diesem fall nicht so ist muss diese folge divigieren.

Also ist diese folge keine Cauchy-Folge

stimmt das ?

16.11.2016, 13:31

klarsoweit

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Irgendwie fehlt mir da der klare Faden und der zielgerichtete Blick auf das, worum es geht.

Zitat:

Original von claudia12
nun betrachten wir $\begin{eqnarray*} a_{n} =|(-1)^{n}| \end{eqnarray*}$

eine teilfolge der gegebenen folge..

In dieser Form ist das keine Teilfolge, sondern eine neue Folge $\begin{eqnarray*} b_n := |a_n| = |(-1)^{n}| \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von claudia12
diese Konvegiert da damit eine konstante folge gegeben ist für diese gilt:

$\begin{eqnarray*} a_{n} =a. |an-a| =| a-a| =0 < epsilon \end{eqnarray*}$

Hier wird es undurchschaubar. Was ist das a? Retten könnte man das vielleicht so:
$\begin{eqnarray*} b_n = 1 \end{eqnarray*}$ Also ist $\begin{eqnarray*} |b_n - 1| =|1-1| =0 < \epsilon \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von claudia12
also da |an| konvergent ist muss |an|eine Cauchy folge sein.

aber $\begin{eqnarray*} a_{n} =(-1)^{n} \end{eqnarray*}$ ist divergent

da für die geraden indizes lim =1 gilt
und für die ungeraden indizes lim =.1 gilt

Hier paßt es wieder, wenn man mal ".1" in "-1" ändert. smile

16.11.2016, 14:54

Claudia12

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Tut mir leid ich bin mit dem Handy unterwegs Forum Kloppe

Aber hätte ich dann den Satz : " |an| Cauchy Folge an auch Cauchy folge"
Wiederlegt ? Wäre der Gegenbeweis richtig oder ist der falsch? verwirrt

16.11.2016, 15:18

klarsoweit

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Mit den von mir vorgeschlagenen Änderungen kann man es gelten lassen.

16.11.2016, 15:34

Claudia12

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Okay Danke smile

Aber wenn ich das gleiche für Reihen Beweisen müsste wäre dies doch nicht so einfach, da dies ja für die Cauchy-Folge gilt. Wie müsste ich dann den Beweis durchführen ?

16.11.2016, 15:46

klarsoweit

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Ich weiß jetzt nicht, was du meinst. Vielleicht postest du doch mal die komplette Aufgabe.

16.11.2016, 16:05

claudia12

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Diese Aufgabe: smile

17.11.2016, 09:51

Claudia12

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Hallo?

17.11.2016, 12:44

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Ich würde das so aufziehen:
Sei $\begin{eqnarray*} S_n := \sum_{k=0}^n |a_k| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_n := \sum_{k=0}^n a_k \end{eqnarray*}$ .

Du mußt nun zeigen, daß (s_n) eine Cauchy-Folge ist. Welche Eigenschaft muß dafür die Folge (s_n) erfüllen?

17.11.2016, 19:27

claudia12

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für alle epsilon >ß existiert ein N element N: für alle k,n

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=k}^{n}| a_{k} | < epsilon \end{eqnarray*}$

aus der dreiecksungleichung folgt :

$\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{m=k}^{n} a_{m} | \leq \sum\limits_{m=k}^{n}| a_{k} | < epsilon \end{eqnarray*}$

stimmt das ?

18.11.2016, 08:46

klarsoweit

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Man könnte was draus machen, aber insgesamt ist der Prosa-Teil des Beweises sehr knapp gehalten. Ich denke, du meinst folgendes:

Da S_n (siehe meinen vorigen Beitrag) eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu epsilon > 0 ein N_0, so daß für alle n,m > N_0 gilt: $\begin{eqnarray*} |S_n - S_m| < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei n >= m. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} |S_n - S_m| = S_n - S_m = \sum\limits_{k=m+1}^n | a_k | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Mittels der Dreiecksungleichung folgt :

$\begin{eqnarray*} |s_n - s_m| = \left|\sum\limits_{k=m+1}^n a_k \right| \leq \sum\limits_{k=m+1}^n |a_k| < \epsilon \end{eqnarray*}$ q.e.d.

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