Abgeschlossenheit einer endlichen Gruppe - g^k = neutrales Element

15.11.2016, 15:58

dubbox

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Abgeschlossenheit einer endlichen Gruppe - g^k = neutrales Element

Meine Frage:
Die Aufgabe vom Prof ist:
Ist $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe, so gibt es für jedes $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: $\begin{eqnarray*} g^{k}=n \end{eqnarray*}$

Als Hinweis ist gegeben, dass $\begin{eqnarray*} G:=(n,g*g,g*g*g,...) \end{eqnarray*}$ und man die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ nutzten soll!

Meine Ideen:
Ich muss leider sagen, ich stehe hier vor einer Wand. Ich kenne bisher nur die Definition, dass $\begin{eqnarray*} g^{0}=n \end{eqnarray*}$ . Aber da ja gilt $\begin{eqnarray*} n = g*g^{-1} \end{eqnarray*}$ müsste ja $\begin{eqnarray*} g*g \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -mal verknüpft irgendwann $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ ergeben und das erschließt sich mir nicht!
Das ganze mit der Abgeschlossenheit verwirrt mich dann noch mehr...

Danke schon einmal für die Zeit und Hilfe!

15.11.2016, 16:27

RavenOnJ

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RE: Abgeschlossenheit einer endlichen Gruppe - g^k = neutrales Element
Du könntest meine letzten Postings in diesem Thread lesen, vielleicht hilft dir das. Es geht dort u.a. genau um diese Frage.

15.11.2016, 17:50

dubbox

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RE: Abgeschlossenheit einer endlichen Gruppe - g^k = neutrales Element

Zitat:

Original von RavenOnJ
Es liegt eine endliche Gruppe vor. Sie sei nicht unbedingt abelsch. Bildet man die Potenzen eines Elements $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} g,g^2:=g\circ g,g^3:=g\circ g\circ g,\cdots \end{eqnarray*}$ , dann muss es einen Exponenten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ geben, sodass
$\begin{eqnarray*} g^n:=\underbrace{g\circ g\cdots\circ g}_{\text{n mal}}=e \end{eqnarray*}$ ,
wieder mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ als dem neutralen Element. Die sogenannte Ordnung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist also damit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Da nun aber gilt
$\begin{eqnarray*} g^n=g^{n-1}\circ g = e \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} g^{-1}\circ g =g \circ g^{-1}=e \end{eqnarray*}$

folgt
$\begin{eqnarray*} g^{n-1}= g^{-1} \end{eqnarray*}$

Jede Potenz eines Elements $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ einer Untergruppe muss innerhalb dieser Untergruppe liegen, damit auch das inverse Element von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , wie man durch die obige Identifikation sehen kann.

Ich denke das ist ja das was ich brauche, aber ich verstehe nicht wirklich, wie ich argumentieren soll, dass dieser Satz eben gilt. Ist jede endliche Gruppe sozusagen zyklisch und da es eine Gruppe ist, ist $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ auch ein Element von der Gruppe, aber wieso muss denn dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ existieren? Ordnung sagt mir leider auch nichts :/ Stehe hier eindeutig auf dem Schlauch, das Thema ist noch frisch in der Uni.

15.11.2016, 22:35

RavenOnJ

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RE: Abgeschlossenheit einer endlichen Gruppe - g^k = neutrales Element

Zitat:

Original von dubbox

Zitat:

Original von RavenOnJ

Es liegt eine endliche Gruppe vor. Sie sei nicht unbedingt abelsch. Bildet man die Potenzen eines Elements $\begin{align*} g \end{align*}$ , also $\begin{align*} g,g^2:=g\circ g,g^3:=g\circ g\circ g,\cdots \end{align*}$ , dann muss es einen kleinsten Exponenten $\begin{align*} n \end{align*}$ geben, sodass
$\begin{align*} g^n:=\underbrace{g\circ g\cdots\circ g}_{\text{n mal}}=e \end{align*}$ ,
wieder mit $\begin{align*} e \end{align*}$ als dem neutralen Element. Die Zahl $\begin{align*} n \end{align*}$ ist die sogenannte Ordnung von $\begin{align*} g \end{align*}$ . Da nun aber gilt
$\begin{align*} g^n=g^{n-1}\circ g = e \end{align*}$

und
$\begin{align*} g^{-1}\circ g =g \circ g^{-1}=e \end{align*}$

folgt
$\begin{align*} g^{n-1}= g^{-1} \end{align*}$

Jede Potenz eines Elements $\begin{align*} g \end{align*}$ einer Untergruppe muss innerhalb dieser Untergruppe liegen, damit auch das inverse Element von $\begin{align*} g \end{align*}$ , wie man durch die obige Identifikation sehen kann.

Ich habe dem verlinkten Text ein kleines, aber wesentliches Detail (rot) hinzugefügt.

Zitat:

Ich denke das ist ja das was ich brauche, aber ich verstehe nicht wirklich, wie ich argumentieren soll, dass dieser Satz eben gilt. Ist jede endliche Gruppe sozusagen zyklisch und da es eine Gruppe ist, ist $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ auch ein Element von der Gruppe, aber wieso muss denn dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ existieren? Ordnung sagt mir leider auch nichts :/

Nein, nicht jede endliche Gruppe ist zyklisch. Nur jede endliche Gruppe, die von einem einzigen Element erzeugt werden kann. Zyklisch deswegen, weil man durch fortlaufende Multiplikation mit dem Erzeuger alle Gruppenelemente durchläuft und irgendwann bei dem neutralen Element (das ihr mit $\begin{align*} n \end{align*}$ bezeichnet, ich mit $\begin{align*} e \end{align*}$ ) anlangt. Danach ginge der Zyklus von vorne los, wenn man weiter mit dem Erzeuger multiplizieren würde. Jede Gruppe enthält zyklische Untergruppen, nämlich die, die von jeweils einem Element erzeugt werden.

Die Ordnung eines Elements einer endlichen Gruppe muss endlich sein, da die Potenzen des Elements nur endlich viele unterschiedliche Werte ergeben. Einer dieser Werte muss das neutrale Element sein, wie sich leicht beweisen lässt. Das neutrale Element ist in allen Untergruppen einer Gruppe enthalten.

Erzeuger einer Gruppe sind Elemente der Gruppe, die zusammen mit ihren Inversen in beliebiger Reihenfolge miteinander multipliziert alle Gruppenelemente ergeben. Dies gilt für alle Gruppen. Es ist dabei nicht gesagt, dass eine Menge von Erzeuger endlich sein muss. Es gibt auch typischerweise mehrere Erzeugermengen.

Über den Begriff der Ordnung hatte ich auch einiges in dem anderen Thread geschrieben. Am besten du liest dir das durch.

17.11.2016, 09:35

dubbox

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Als erstes einmal vielen Dank für deine Mühe und antworten! Ist sehr hilfreich und ist toll, dass du so hilfsbereit bist Big Laugh

Big Laugh

Also hier mal wie weit ich jetzt bin:

Ordnung
Sei M eine endliche Menge, so ist $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Ordnung von M, was bedeutet $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist Anzahl der Elemente von M.

Ist dann in diesem Satz
$\begin{eqnarray*} g^{n}=g^{n-1} * g=e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Ordnung von $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ ? Oder steht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nur für eine Zahl aus den natürlichen Zahlen, also dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht gleich auch die Ordnung sein muss?

Dann ist meine Frage, wie beweise ich nun diesen Satzt? Im Prinzip muss ich ja jetzt beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} g^{n-1}=g*g*...*g = g^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt.

Wenn ich dass habe, könnte ich dann ja wie von dir gesagt folgern
$\begin{eqnarray*} g^{n}=g^{n-1}*g=g^{-1}*g=e \end{eqnarray*}$

Was ich verstehe, ist dass das ganze mit der Abgeschlossenheit und Endlichkeit zusammenhängt, das also gilt
$\begin{eqnarray*} \forall g\in G:g^{n}\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Jedoch wieso ist dann auch $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} g*g*...*g=g^{n} \end{eqnarray*}$ darstellbar? Könnte es nicht sein, dass $\begin{eqnarray*} g*g*...*g=g^{n} \end{eqnarray*}$ niemals das Element $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ abbildet?

17.11.2016, 16:58

RavenOnJ

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Zitat:

Original von dubbox
Als erstes einmal vielen Dank für deine Mühe und antworten! Ist sehr hilfreich und ist toll, dass du so hilfsbereit bist Big Laugh

Big Laugh

Danke. Es ist immer gut zu hören, wenn die eigene Arbeit und Mühe geschätzt wird. Kommt ja nicht so oft vor.

Da ich nicht weiß, ob du hier mit den Bezeichnungen durcheinanderkommst, nenne ich ab jetzt das neutrale Element nicht mehr $\begin{align*} e \end{align*}$ , sondern wie bei euch $\begin{align*} n \end{align*}$ .

Zitat:

Ordnung
Sei M eine endliche Menge, so ist $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Ordnung von M, was bedeutet $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist Anzahl der Elemente von M.

Sprich bitte von "Gruppe", nicht von "Menge". Der Begriff der Ordnung hat bei Mengen nichts verloren, dort heißt es Mächtigkeit oder Kardinalität. Natürlich könnte man auch bei Gruppen einfach Mächtigkeit sagen, was wegen der Überladung des Begriffes Ordnung vielleicht sogar sinnvoll wäre. Der Begriff der Ordnung hat sich aber nun mal bei Gruppen eingebürgert.

Zitat:

Ist dann in diesem Satz
$\begin{eqnarray*} g^{k}=g^{k-1} * g=n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Ordnung von $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ ? Oder steht $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nur für eine Zahl aus den natürlichen Zahlen, also dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nicht gleich auch die Ordnung sein muss?

OK, schon bist du über die Überladung des Begriffes "Ordnung" gestolpert. Das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Ordnung des Elements g, nicht die Ordnung (Mächtigkeit) der Gruppe. Die von dir genannte Gleichung trifft allerdings auf alle Vielfachen der Ordnung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zu, u.a. auch auf die Gruppenordnung. Aber die ist für diese Gleichung nicht relevant. Außerdem kennst du den Zusammenhang mit dem Satz von Lagrange vermutlich noch nicht. (Aus dem Satz folgt: die Ordnung eines Elements teilt die Gruppenordnung)

Ich werde den Rest heute Nacht beantworten. Hab jetzt keine Zeit mehr.

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18.11.2016, 11:59

RavenOnJ

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Da ich nicht weiß, ob du hier mit den Bezeichnungen durcheinanderkommst, nenne ich ab jetzt das neutrale Element nicht mehr $\begin{align*} e \end{align*}$ , sondern wie bei euch $\begin{align*} n \end{align*}$ . Ich habe mein voriges Posting entsprechend editiert.

Zitat:

Original von dubbox

Dann ist meine Frage, wie beweise ich nun diesen Satzt? Im Prinzip muss ich ja jetzt beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} g^{k-1}=g*g*...*g = g^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt.

Wenn ich dass habe, könnte ich dann ja wie von dir gesagt folgern
$\begin{eqnarray*} g^{k}=g^{k-1}*g=g^{-1}*g=n \end{eqnarray*}$

Es geht andersrum. Zuerst wird bewiesen, dass es ein $\begin{align*} k \end{align*}$ gibt, sodass $\begin{align*} g^k=n \end{align*}$ (Tipp:Schubfachprinzip. Was folgt aus dem Prinzip für die Potenzen $\begin{align*} g^k \end{align*}$ ?). Dies ist die an dich gestellte Aufgabe, der Rest ist "Bonusmaterial" (s.u.).

Bonusmaterial:
Daraus wird gefolgert, dass $\begin{align*} g^{k-1}\circ g=n\land g^{-1}\circ g=n\Rightarrow g^{-1}=g^{k-1} \end{align*}$ .

Zitat:

Was ich verstehe, ist dass das ganze mit der Abgeschlossenheit und Endlichkeit zusammenhängt, das also gilt
$\begin{eqnarray*} \forall g\in G:g^{k}\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Wenn du hier mit $\begin{align*} k \end{align*}$ die Gruppenordnung (Mächtigkeit) meinst, dann hast du zufällig recht, wegen des Satzes von Lagrange, den du vermutlich noch nicht kennst. Erstmal kannst du nur sagen:

$\begin{align*} \forall g\in G {\color{red}\exists k\in \mathbb N_{>0}}: g^k=n \end{align*}$

Das kleinstmögliche $\begin{align*} k \end{align*}$ ist abhängig von $\begin{align*} g \end{align*}$ . Dies ist die Ordnung von $\begin{align*} g \end{align*}$ .

Zitat:

Jedoch wieso ist dann auch $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} g*g*...*g=g^{m} \end{eqnarray*}$ darstellbar? Könnte es nicht sein, dass $\begin{eqnarray*} g*g*...*g=g^{m} \end{eqnarray*}$ niemals das Element $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ abbildet?

Das solltest du dir aus dem Vorigen selbst beantworten können.

18.11.2016, 18:24

dubbox

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Okay, du hast recht der untere teil ergibt sich dann durch
$\begin{eqnarray*} g^{k-1} * g = n \wedge g^{-1}=n \Rightarrow g^{-1}=g^{k-1} \end{eqnarray*}$

Zu der Aufgabe an mich,
Wir haben die endliche Gruppe $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N>0 \end{eqnarray*}$ , wir wissen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist unendlich, so gibt es also auch unendlich viele verschiedene Exponenten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g^{k}=(g*g*...*g)_{k-mal} \end{eqnarray*}$ .

So wie ich das Schubfachprinzip verstanden habe, können wir aus der Endlichkeit von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und der Unendlichkeit der Menge der Potenzen von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} g^{k} \end{eqnarray*}$ irgendwann jede mögliche Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ trifft, somit auch die Untergruppe $\begin{eqnarray*} U:=(g^{-1}) \end{eqnarray*}$ . Da wenn wir eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -Elementen in eine Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ -Elementen stecken und es gilt $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ , so muss eine Untermenge von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mind. zwei Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten (abhängig davon, wieviel größer $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist).

Weiß nicht ob das der richtige Ansatzt jetzt ist, sehe noch nicht ganz den Schluss :/

18.11.2016, 19:00

RavenOnJ

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Zitat:

Original von dubbox

So wie ich das Schubfachprinzip verstanden habe, können wir aus der Endlichkeit von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und der Unendlichkeit der Menge der Potenzen von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} g^{k} \end{eqnarray*}$ irgendwann jede mögliche Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ trifft, somit auch die Untergruppe $\begin{eqnarray*} U:=(g^{-1}) \end{eqnarray*}$ .

verwirrt

Ehrlich gesagt, weiß ich nicht so genau, was du da machst. Ich nehme mal an, du weißt noch nicht, was eine Untergruppe ist. $\begin{eqnarray*} U:=(g^{-1}) \end{eqnarray*}$ ist auf alle Fälle keine, wenn man mal von dem Fall $\begin{eqnarray*} g=n \end{eqnarray*}$ absieht. Was machst du hier überhaupt mit $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ ? Das brauchst du doch für deine Aufgabe gar nicht. Du sollst nur beweisen, dass es ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} g^k=n \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir $\begin{eqnarray*} g\not=n \end{eqnarray*}$ an. Es geht darum, dass es aufgrund des Schubfachprinzips auf alle Fälle mindestens zwei Potenzen von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gibt, die gleich sind (Potenzen, nicht Exponenten!).

Zitat:

Da wenn wir eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -Elementen in eine Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ -Elementen stecken und es gilt $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ , so muss eine Untermenge von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mind. zwei Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten (abhängig davon, wieviel größer $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist).

Und das vergessen wir mal ganz schnell.

18.11.2016, 19:33

dubbox

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Haha, ja sorry mir fällt auch erst jetzt auf dass das totaler Mist ist, was ich da geschrieben habe Big Laugh

Big Laugh

Zweiter versuch Big Laugh

Big Laugh

Also da nun mindestens zwei Potenzen von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ gleich sind, so gilt also für irgendwelche $\begin{eqnarray*} l,m \in \mathbb N_{>0} \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} g^{l}=g^{m} \end{eqnarray*}$ .

Somit ist also $\begin{eqnarray*} g^{l}=g^{l}*g^{m-l} \Rightarrow g^{m-l}=n=g^{k} \end{eqnarray*}$ ,
da ja gilt $\begin{eqnarray*} g*g^{-1}=n \end{eqnarray*}$ somit auch $\begin{eqnarray*} g^{k}=g^{k-1}*g=n \end{eqnarray*}$

ist das schon besser ? Big Laugh

Big Laugh

18.11.2016, 21:40

dubbox

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bzw. eigentlich gilt
$\begin{eqnarray*} g^{l}=g^{l}*g^{m-l} \wedge g=g*n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g^{m-l}=n=g^{k} \end{eqnarray*}$
oder?

18.11.2016, 23:40

RavenOnJ

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Zitat:

Original von dubbox
bzw. eigentlich gilt
$\begin{eqnarray*} g^{l}=g^{l}*g^{m-l} \wedge g=g*n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g^{m-l}=n=g^{k} \end{eqnarray*}$
oder?

Immerhin hat dir der Hinweis etwas genützt. Sieht mir aber immer noch etwas nach Stochern im Nebel aus. Also nochmal ohne überflüssigen Schnickschnack:
Wegen des Schubfachprinzips gilt:
$\begin{align*} g\not=n\Rightarrow \exists l,m\in \mathbb N,l<m: g^l=g^m\Rightarrow g^{-l}\circ g^l = n = g^{m-l}=g^k \end{align*}$

mit $\begin{align*} k:=m-l >1 \end{align*}$ . Also gibt es einen Exponenten $\begin{align*} k >1 \end{align*}$ , sodass $\begin{align*} g^k =n \end{align*}$ .

19.11.2016, 14:57

dubbox

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Entschuldige die schwere Geburt Big Laugh

Big Laugh

und vielen vielen Dank für deine Mühe

Also ich probiere es jetzt noch mal komplett zusammen zu fassen

Zu beweisen ist, sei $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe mit $\begin{eqnarray*} G:=(n,g,g*g,g*g*g,...) \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gilt die Abgeschlossenheit. So soll es ein $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N_{>0} \end{eqnarray*}$ geben, sodass gilt $\begin{eqnarray*} g^{k}=n \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} g \not= n \end{eqnarray*}$ so gilt wegen des Schubfachprinzips folgendes

$\begin{eqnarray*} \exists l,m \in \mathbb N_{>0},l<m: g^{l}=g^{m}=g^{l}*g^{m-l} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g^{-l}*g^{l}=n=g^{m-l}=g^{k} \end{eqnarray*}$ <-- das gilt wegen $\begin{eqnarray*} g^{-1}*g=n \wedge (g=g*n \wedge g^{l}=g^{l}*g^{m-l}) \Rightarrow g^{m-l}=n \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} k:=m-l>1 \end{eqnarray*}$ . Also ist bewiesen $\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb N_{>0}:g^{k}=n \end{eqnarray*}$ .

Hab das mit dem <-- noch dazu geschrieben, weil ich mir unsicher bin bei der Begründung von $\begin{eqnarray*} g^{-l}*g^{l}=g^{m-l} \end{eqnarray*}$ , wäre das die richtige Begründung sogesehen?

Wirklich vielen dank dir smile

smile

20.11.2016, 14:17

RavenOnJ

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Zitat:

Original von dubbox

Zu beweisen ist, sei $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe mit $\begin{eqnarray*} G:=(n,g,g*g,g*g*g,...) \end{eqnarray*}$

unglücklich

Das entspricht nicht der Voraussetzung. Es ist nur vorausgesetzt, dass $\begin{align*} G \end{align*}$ endlich ist, nicht, dass es sich um eine zyklische Gruppe mit $\begin{align*} g \end{align*}$ als Erzeuger handelt. Es ist nur so, dass jedes $\begin{align*} g \end{align*}$ eine solche zyklische Untergruppe von $\begin{align*} G \end{align*}$ erzeugt. (Dies letztere ist nur „Bonusmaterial”, das ich versuchte dir nahezubringen.)

Zitat:

So soll es ein $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N_{>0} \end{eqnarray*}$ geben, sodass gilt $\begin{eqnarray*} g^{k}=n \end{eqnarray*}$ .

Auch dies hier in Verbindung mit dem Vorigen zeigt, dass du möglicherweise nicht wirklich verstanden hast, worum es geht oder du drückst dich falsch aus. Es soll nicht nur ein Element geben, für das dies gilt, sondern es gibt für jedes Element aus $\begin{align*} G \end{align*}$ einen solchen Exponenten. Das soll gezeigt werden.

Zitat:

Sei nun $\begin{eqnarray*} g \not= n \end{eqnarray*}$ so gilt wegen des Schubfachprinzips folgendes

$\begin{eqnarray*} \exists l,m \in \mathbb N_{>0},l<m: g^{l}=g^{m}=g^{l}*g^{m-l} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g^{-l}*g^{l}=n=g^{m-l}=g^{k} \end{eqnarray*}$ <-- das gilt wegen $\begin{eqnarray*} g^{-1}*g=n \wedge (g=g*n \wedge g^{l}=g^{l}*g^{m-l}) \Rightarrow g^{m-l}=n \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} k:=m-l>1 \end{eqnarray*}$ . Also ist bewiesen $\begin{eqnarray*} \exists k \in \mathbb N_{>0}:g^{k}=n \end{eqnarray*}$ .

Das ist ja nur mehr oder weniger das, was ich schon geschrieben hatte. Was aber soll dieses $\begin{align*} g=g\circ n \end{align*}$ ? Das ist doch trivial und nur die Bedingung, die das neutrale Element erfüllen muss Genauer gesagt muss das neutrale Element $\begin{align*} n \end{align*}$ die Bedingung erfüllen:

$\begin{align*} \exists n\in G \forall g\in G:g\circ n=n\circ g=g \end{align*}$ )

(BTW: Das Latex-Token für logisches UND ist \land, nicht \wedge; möglicherweise ist dies dasselbe Zeichen, hat aber von der Semantik her eine ganz andere Bedeutung.)

Zitat:

Hab das mit dem <-- noch dazu geschrieben, weil ich mir unsicher bin bei der Begründung von $\begin{eqnarray*} g^{-l}*g^{l}=g^{m-l} \end{eqnarray*}$ , wäre das die richtige Begründung sogesehen?

Linksmultiplikation mit $\begin{align*} g^{-l} \end{align*}$ von $\begin{align*} g^l=g^m \end{align*}$ führt dazu.

20.11.2016, 14:44

dubbox

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Entschuldige, habe mich da einfach falsch ausgedrückt

Das was ich beweisen soll ist ja, sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe so existiert
$\begin{eqnarray*} \forall g\in G\exists k\in \mathbb N_{>0}:g^{k}=n \end{eqnarray*}$

war da einfach etwas latexfaul unglücklich

unglücklich

das mit dem $\begin{eqnarray*} g=g*n \end{eqnarray*}$ , war eher für mich selbst, natürlich ist das trivial war nur so als eine Art reminder gedacht. Bin noch ganz neu in dieser ganzen Welt der Gruppen.

Ich denke ich habe die Aufgabe jetzt letztendlich komplett verstanden, das hinter dem <-- müsste korrekt wie folgt lauten (wieder aber nur als reminder eigentlich an mich selbst, um den Schluss nachvollzuziehen)

$\begin{eqnarray*} g^{-1}*g=g*g^{-1}=n \land (g=g*n=n*g \land g^{l}=g^{l}*g^{m-l}=g^{m-l}*g^{l}) \Rightarrow g^{m-l}=n \end{eqnarray*}$

An dich mega vielen Dank für die Ausdauer bei dieser Aufgabe!! Big Laugh

Big Laugh

20.11.2016, 22:05

RavenOnJ

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Zitat:

Original von dubbox

$\begin{eqnarray*} {\color{red}g^{-1}*g=g*g^{-1}=n \land (g=g*n=n*g \land} g^{l}=g^{l}*g^{m-l}=g^{m-l}*g^{l}) \Rightarrow g^{m-l}=n \end{eqnarray*}$

Da Rote musst du nicht extra erwähnen, das gehört zu den Gruppenaxiomen. Das bleibt dann übrig:
$\begin{align*} g^{l}=g^m= g^{l}*g^{m-l} \Rightarrow g^{m-l}=n \end{align*}$

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