Verteilungsfunktionen prüfen

15.11.2016, 20:11

cmplx96

Verteilungsfunktionen prüfen

Hallo zusammen,

gegeben sind folgende Verteilungsfunktionen:
$\begin{eqnarray*} F_{1}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x < 2 \\<br /> x-2, & 2 \leq x < 4 \\ 1, & x \geq 4 \end{array}\right. ~, x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} F_{2}(x)=e^{-e^{-x}},~x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Es soll bestimmt werden, welche Funktion eine Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable ist und welche nicht.

Meine Ideen:

Laut Wikipedia gibt es 3 Axiome für eine Verteilungsfunktion F mit $\begin{eqnarray*} F:\mathbb R \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ :
1. F ist monoton steigend
2. F ist rechtsseitig stetig
3. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } F(x) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } F(x) = 1 \end{eqnarray*}$

Mit der Monotonie und den Grenzwerten habe ich keine Probleme, dafür aber mit der Stetigkeit.

zu $\begin{eqnarray*} F_{1} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4^{+} } 0 \neq F(4) = 0 \end{eqnarray*}$
Was ich hier komisch finde, ist dass das Intervall $\begin{eqnarray*} 2 \leq x < 4 \end{eqnarray*}$ garnicht behandelt wird. Um rechtsseitige Stetigkeit zu prüfen, muss ich den Grenzwert aber auch von der rechten Seite ansetzen, oder?

zu $\begin{eqnarray*} F_{2} \end{eqnarray*}$ :
Hier weiß ich nicht genau, wie rechtsseitige Stetigkeit zeigen/widerlegen soll.
Vielleicht das Epsilon-Delta-Kriterium?

Danke im Voraus! smile

15.11.2016, 20:28

Math1986

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RE: Verteilungsfunktionen prüfen

Zitat:

Original von cmplx96
zu $\begin{eqnarray*} F_{1} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4^{+} } 0 \neq F(4) = 0 \end{eqnarray*}$
Was ich hier komisch finde, ist dass das Intervall $\begin{eqnarray*} 2 \leq x < 4 \end{eqnarray*}$ garnicht behandelt wird. Um rechtsseitige Stetigkeit zu prüfen, muss ich den Grenzwert aber auch von der rechten Seite ansetzen, oder?

Was soll das "garnicht behandelt " heißen?

Was heißt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4^{+} } 0 \end{eqnarray*}$ ?
Du musst einmal den Grenzwert von links und einmal von rechts betrachten, fällt dir was auf?

Ist die erste Funktion denn überhaupt eine Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2016, 20:37

cmplx96

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Erstmal vielen Dank für die Antwort!

Ich meine damit, dass ich den Grenzwert von einer Funktion in einem Intervall gebildet habe und dann den Wert, gegen den ich x laufen lassen habe, in die Funktion eingesetzt habe. Der Wert fällt aber in das gleiche Intervall, daher ist es klar, dass die Werte gleich sind.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4^{+} } 0 \end{eqnarray*}$ heißt, dass ich den rechtsseitigen Grenzwert für $\begin{eqnarray*} F_{1} \end{eqnarray*}$ an der Stelle x = 4 bilde. Die Funktion in in diesem Intervall mit 0 definiert. Habe gerade gesehen, dass ich mich verguckt habe. In dem Intervall ist die Funktion mit 1 definiert. Sorry. In dem Fall ändert es aber nichts an meinem Problem.

Wenn ich den Grenzwert von links betrechte fällt mir auf, dass die Funktion an der Stelle nicht linksseitig stetig ist, da $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4^{-} } x-2 = 2 \neq F_{1}(4) = 1 \end{eqnarray*}$ . Aber wieso muss ich die Grenzwerte von der linken Seite betrachten, wenn eine Verteilungsfunktion nur rechtsseitig stetig sein muss?

Ich würde sagen beide Funktionen sind nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ .
Kann ich damit eine Verteilungsfunktion schon ausschließen?

15.11.2016, 20:45

Math1986

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Zitat:

Original von cmplx96
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4^{+} } 0 \end{eqnarray*}$ heißt, dass ich den rechtsseitigen Grenzwert für $\begin{eqnarray*} F_{1} \end{eqnarray*}$ an der Stelle x = 4 bilde. Die Funktion in in diesem Intervall mit 0 definiert. Habe gerade gesehen, dass ich mich verguckt habe. In dem Intervall ist die Funktion mit 1 definiert. Sorry. In dem Fall ändert es aber nichts an meinem Problem.

Du meinst wohl eher $\begin{align*} \lim_{x \to 4^{+} } F_1(x) \end{align*}$ , nicht $\begin{align*} \lim_{x \to 4^{+} } 0 \end{align*}$

Zitat:

Original von cmplx96
Wenn ich den Grenzwert von links betrechte fällt mir auf, dass die Funktion an der Stelle nicht linksseitig stetig ist, da $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4^{-} } x-2 = 2 \neq F_{1}(4) = 1 \end{eqnarray*}$ . Aber wieso muss ich die Grenzwerte von der linken Seite betrachten, wenn eine Verteilungsfunktion nur rechtsseitig stetig sein muss?

Es reicht aus, zu zeigen, dass $\begin{align*} \lim_{x \to 4^{+} } F_1(x) = 2\neq F_1(4)=1 \end{align*}$ , den anderen Grenzwert musst du nicht betrachten.,

Zitat:

Original von cmplx96
Ich würde sagen beide Funktionen sind nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ .
Kann ich damit eine Verteilungsfunktion schon ausschließen?

Ja. Kannst du ersteres auch begründen?

15.11.2016, 20:53

cmplx96

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Zitat:

Original von Math1986Ja. Kannst du ersteres auch begründen?

Reicht sowas $\begin{eqnarray*} F_{1}(3.5) = 1.5 \not\in [0,1] \end{eqnarray*}$ ?

15.11.2016, 20:53

Math1986

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Zitat:

Original von cmplx96

Zitat:

Original von Math1986Ja. Kannst du ersteres auch begründen?

Reicht sowas $\begin{eqnarray*} F_{1}(3.5) = 1.5 \not\in [0,1] \end{eqnarray*}$ ?

Ja, und fürs zweite?

15.11.2016, 21:00

cmplx96

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Wenn ich mir die zweite Funktion graphisch angucke, muss ich feststellen, dass diese doch $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ ist.

Monoton steigend ist sie auch und die Grenzwerte stimmen auch.

Liegt hier doch eine Verteilungsfunktion vor?

15.11.2016, 21:02

Math1986

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Zitat:

Original von cmplx96
Wenn ich mir die zweite Funktion graphisch angucke, muss ich feststellen, dass diese doch $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ ist.

Monoton steigend ist sie auch und die Grenzwerte stimmen auch.

Dann beweise das mal.

15.11.2016, 21:08

cmplx96

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Monotonie und die Grenzwerte sind kein Problem.
Für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow [0,1] \end{eqnarray*}$ weiß ich nicht genau, wie ich vorgehen soll.
Die Funktion strebt für $\begin{eqnarray*} x \rightarrow -\infty \end{eqnarray*}$ gegen 0 und für $\begin{eqnarray*} x \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen 1.
Damit sie Funktionswerte > 1 oder < 0 haben könnte, müsste sie mindestens ein Extrema haben. Sie hat aber keine Extrema da $\begin{eqnarray*} f_{1}(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Reicht das?

15.11.2016, 21:22

Math1986

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Zitat:

Original von cmplx96
Sie hat aber keine Extrema da $\begin{eqnarray*} f_{1}(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Das verstehe ich nicht. Ist damit etwa die Ableitung gemeint?

15.11.2016, 21:27

cmplx96

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Ja, das soll aussagen, dass die 1.Ableitung stets ungleich 0 ist.

15.11.2016, 21:35

Math1986