Faktorgruppe / unendliche Ordnung

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Statista Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorgruppe / unendliche Ordnung
Meine Frage:
Sei die Menge T der Elemente endlicher Ordnung einer abelschen Gruppe G stets eine Untergruppe von G. Zeige, dass außer dem neutralen Element jedes Element der Faktorgruppe G/T unendliche Ordnung hat.

Meine Ideen:
Wie ist denn der Ansatz, für ein Element nachzuweisen, ob es unendliche oder endliche Ordnung besitzt?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe / unendliche Ordnung
Die Ordnung von G soll offenbar unendlich sein.

Ich nehme mal an, ihr habt schon gezeigt, dass die Menge der Elemente endlicher Ordnung eine Untergruppe von G bilden.

Du kannst die Aufgabe durch Widerspruch lösen. Nimm an, ein Element der Faktorgruppe (nicht das neutrale Element) habe endliche Ordnung. Was folgt daraus?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe / unendliche Ordnung
Zitat:
Original von RavenOnJ
Die Ordnung von G soll offenbar unendlich sein.


Muss sie nicht. Wenn nur endliche Ordnung besitzt, so ist und ist nur das triviale Element, worüber man nichts aussagt.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe / unendliche Ordnung
Zitat:
Original von IfindU
Zitat:
Original von RavenOnJ
Die Ordnung von G soll offenbar unendlich sein.


Muss sie nicht. Wenn nur endliche Ordnung besitzt, so ist und ist nur das triviale Element, worüber man nichts aussagt.


OK, diesen trivialen Fall hatte ich nicht berücksichtigt. Ich nehme aber mal wegen der Aufgabenstellung an, dass es sich nicht um diesen Fall handelt, obwohl der natürlich eingeschlossen ist. Aber, um dem Genüge zu tun, kann man zuerst mal eine Fallunterscheidung treffen: A) Ordnung von G endlich, B) Ordnung von G unendlich.
Statista Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe / unendliche Ordnung
Würde man auf das Ergebnis kommen, dass G eine endliche Gruppe ist, also im Gegensatz zur Annahme? Ich gehe mal davon aus, dass der Widerspruch mit der Definition der Faktorgruppe zu tun hat. Vielleicht wegen der Äquivalenzklasse: [x]={y ∈ G I y~x}?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe / unendliche Ordnung
Zitat:
Original von Statista
Würde man auf das Ergebnis kommen, dass G eine endliche Gruppe ist, also im Gegensatz zur Annahme?

Welche Annahme?

Zitat:
Ich gehe mal davon aus, dass der Widerspruch mit der Definition der Faktorgruppe zu tun hat. Vielleicht wegen der Äquivalenzklasse: [x]={y ∈ G I y~x}?


Natürlich hat das mit der Defintion der Faktrogruppe zu tun.

Und was soll dieser Smartphonemist [x]={y ∈ G I y~x} bedeuten?
 
 
Statista Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe / unendliche Ordnung
Im Gegensatz zu der Annahme, dass G unendlich ist.

Das war tatsächlich nicht mit Smartphone erstellt, aber irgendwie hat er das Elementzeichen nicht richtig dargestellt:
[x]={y (element aus) G l y~x}?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorgruppe / unendliche Ordnung
Du solltest dir angewöhnen, die Formeln in Latex zu setzen. Also:


OK, sehr allgemein, sodass man nicht erkennt, welche Äquivalenz gemeint ist. Wann ist ein äquivalent zu einem , wenn der Quotient von zur Torsionsuntergruppe gebildet wird? Was wäre, wenn ein endliche Ordnung hätte?
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