VR, UVR und Dimensionen zu zeigen

18.11.2016, 22:51

Brolly89

VR, UVR und Dimensionen zu zeigen

Ich bräuchte mal eure Hilfe. Ich muss mal irgendwie einen Ansatz bekommen, wie ich diese Aufgabe löse. Habe nämlich noch keine Idee.

Aufgabe:
Seien V ein Vektorraum und U,W endlich erzeuge Untervektorräume von V mit U $\begin{eqnarray*} \subsetneq \end{eqnarray*}$ W (d.h. $\begin{eqnarray*} U \subseteq W , U \neq W \end{eqnarray*}$ ). Zeigen Sie, dass äquivalent sind
(i) dim W = dim U + 1
(ii) Es gibt keinen Untervektorraum H von V mit $\begin{eqnarray*} U \subsetneq H \subsetneq W \end{eqnarray*}$

Def. von UVR
1) $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$ O ist dabei das Nullelement.
2) $\begin{eqnarray*} a,b \in U \Rightarrow a+b \in U \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} s \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in U \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow s \cdot a \in U \end{eqnarray*}$ .

Man sagt dann auch U ist abgeschlossen und der Addition und skalaren Multiplikation.

Dimensionen zeigen an, wie viele Basen entstehen.
zu: (i)
Mir erschließt sich, dass das ja dim W = dim U nicht sein kann und deshalb immer ein + 1 hinzugefügt werden muss, da diese Bedingungen vorgegeben sind. Aber wie zeige ich das jetzt richtig ?

19.11.2016, 12:05

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst zwei Dinge zeigen:
a) $\begin{eqnarray*} (i) \Rightarrow (ii) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} (ii) \Rightarrow (i) \end{eqnarray*}$

Das geht beides über einen Widerspruchsbeweis:
Zu a): Angenommen, es gäbe einen Untervektorraum $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} U \subsetneq H \subsetneq W \end{eqnarray*}$ . Was kannst du dann über die Dimension von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ in Bezug auf die Dimension von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ sagen? Und was gilt dann für die Dimension von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ?

Zu b): Angenommen, $\begin{eqnarray*} \dim W\neq \dim U+1 \end{eqnarray*}$ . Dann muss $\begin{eqnarray*} \dim W>\dim U+1 \end{eqnarray*}$ sein. ( $\begin{eqnarray*} \dim U=\dim W \end{eqnarray*}$ ist, wie du schon gesagt hast, nicht möglich). Du nimmst dann eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und ergänzt diese zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ . Kannst du damit dann einen Untervektorraum $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U \subsetneq H \subsetneq W \end{eqnarray*}$ angeben?

20.11.2016, 17:04

Brolly89

Auf diesen Beitrag antworten »

Also nach langem überlegen, glaube ich zu a) wäre es dann das dim H+1 = dim W und dim U + 2 = dim W ? Wäre das Richtig? Die dürfen ja nicht die selbe Menge enthalten, aber Teilmengen.

Aber zu b) habe ich leider immer noch keine wirkliche Idee....
Müsste es dann dim W > dim H + 1 > dim U + 2? Ähnlich wie oben?
Lineare Algebra ist echt ein Horror für mich. In den Übungen ist es dann immer logisch und verständlich, aber an solchen Übungen scheitere ich dann. Ich will so gerne Physik schaffen (studiere Physik). Sitze nur noch vor Mathe Tag ein und aus, und habe das Gefühl, ich würde kaum vorwärts kommen. unglücklich

20.11.2016, 19:10

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Brolly89
Also nach langem überlegen, glaube ich zu a) wäre es dann das dim H+1 = dim W und dim U + 2 = dim W ? Wäre das Richtig?

Nicht ganz: Die Dimension von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ muss ja nicht nur um 1 kleiner sein als die Dimension von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ . Du weißt nur, dass $\begin{eqnarray*} \dim H+1\leq \dim W \end{eqnarray*}$ .
Genauso kannst du auch nur sagen, dass $\begin{eqnarray*} \dim U+1\leq \dim H \end{eqnarray*}$ .

Zusammen erhält man daraus $\begin{eqnarray*} \dim U+2\leq \dim W \end{eqnarray*}$ . Und das ist ein Widerspruch zu (i).

Zitat:

Original von Brolly89
Die dürfen ja nicht die selbe Menge enthalten, aber Teilmengen.

Was meinst du damit? verwirrt

Zitat:

Original von Brolly89
Aber zu b) habe ich leider immer noch keine wirkliche Idee....
Müsste es dann dim W > dim H + 1 > dim U + 2?

Diese Ungleichung muss nicht unbedingt gelten.

Wir brauchen hier erstmal nur die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \dim W>\dim U+1 \end{eqnarray*}$ ; das ist gleichbedeutend zu $\begin{eqnarray*} \dim W\geq\dim U+2 \end{eqnarray*}$ . Eine Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ enthält also mindestens zwei Elemente mehr als eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

Jetzt nimmst du eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , die Basiselemente nenne ich $\begin{eqnarray*} \{u_1, ..., u_n\} \end{eqnarray*}$ .
Diese Basis ergänzt du wie oben erwähnt zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ (ich nehme an, ihr hattet schon den Basisergänzungssatz? den brauchst du hier).
Und dann überlege dir, wie man daraus eine Basis von einem Unterraum $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ mit der gewünschten Eigenschaft angeben könnte.

20.11.2016, 19:20

Brolly89

Auf diesen Beitrag antworten »

Basisergänzungssatz hatten wir noch nicht. Wie kann er dann sowas von uns verlangen, wenn wir das weder im Tutorium noch in der Vorlesung hatten. Oh man....

20.11.2016, 19:39

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ne, vergiss den Satz. Für diese Aufgabe brauchen wir den doch nicht. Augenzwinkern

Nimm einfach irgendeinen Vektor $\begin{eqnarray*} v\in W\setminus U \end{eqnarray*}$ , und zeige, dass $\begin{eqnarray*} H:= \langle u_1, ..., u_n, v\rangle \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft erfüllt.

( $\begin{eqnarray*} \{u_1, ..., u_n\} \end{eqnarray*}$ war eine Basis von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ )

24.11.2016, 17:07

Brolly89

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir vielmals.

Neue Frage »

Antworten »

VR, UVR und Dimensionen zu zeigen

Verwandte Themen