Vektoren Winkelberechnung

19.11.2016, 14:20

Karina.P

Vektoren Winkelberechnung

Meine Frage:
Hallo ihr lieben,
Ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiß, wie ich anfangen soll.

Es sind die Längen der Vektoren a und b aus R³ gegeben.
a = 3
b = 2

Und das Skalarprodukt aus [(3a + b),(a - 2b)] = 0

Ich soll den Cosinus des Winkels, den a und b einschließen berechnen.

Meine Ideen:
Um den Winkel auszurechnen brauche ich ja erstmal die Vektoren a und b. Und da liegt das Problem. Ich kann nichts mit der oben stehenden Gleichung anfangen.
Kleine Hinweise oder Ansätze würden mir reichen.
Danke

19.11.2016, 15:49

mYthos

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Das Skalarprodukt ist distributiv, $\begin{eqnarray*} \vec a^2 = |\vec a^2|; \ ... \end{eqnarray*}$ (daraus ist insgesamt $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b \end{eqnarray*}$ zu berechnen) und

$\begin{eqnarray*} \cos \varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|} \end{eqnarray*}$

Reicht dir dies?

mY+

19.11.2016, 18:09

Karina.P

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RE: Vektoren Winkelberechnung
Leider verstehe ich das nicht. Wäre nett wenn du mir das anhand der Aufgabe weiter erklären könntest.

19.11.2016, 21:07

mYthos

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Berechne zunächst das angegebene Skalarprodukt durch einfache Multiplikation und setze dieses Null.
$\begin{eqnarray*} \vec a^2 \end{eqnarray*}$ ersetze durch $\begin{eqnarray*} |\vec a|^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} |\vec b|^2 \end{eqnarray*}$ , diese sind bekannt (lt. Angabe 3 bzw. 2).
Übrig bleibt $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b \end{eqnarray*}$ , welches du mittels der Gleichung berechnest.
Letztendlich verwende die Formel für den Winkel, in die du alle nunmehr bekannten Werte einsetzen und somit den Winkel berechnen kannst.

Klappt es jetzt?

mY+

19.11.2016, 22:13

Karina.P

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RE: Vektoren Winkelberechnung
Jetzt habe ich es verstanden. Vielen lieben Dank

19.11.2016, 23:34

mYthos

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Das ist erfreulich.
Zur Kontrolle und für die anderen Leser: $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = \frac {19}5; \ \varphi = 50,7° \end{eqnarray*}$

20.11.2016, 14:22

Karina.P

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Tut mir leid wenn ich nochmal störe, aber wie kommt man auf den Betrag von a und b?
Ich habe ebenfalls 19/5 raus aber ich brauche ja den Betrag der einzelnen Vektoren um den Winkel ausrechnen zu können.

20.11.2016, 16:37

willyengland

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Die sind doch gegeben.

verwirrt