Existenz nur einer leeren Menge?

20.11.2016, 03:15

Pippen

Existenz nur einer leeren Menge?

Folgender Beweis zu o.g. Thema vom Prof, den ich für falsch halte. Man kann es sich bei Interesse anschauen unter: https://www.youtube.com/watch?v=AAJB9l-HAZs&t=7s, ab 24:24.

1. Wir nehmen zwei leere Mengen an, x & x'. (Zur Erinnerung, die leere Menge wird definiert als: exist x forall y: (y ~€ x) und zwei Mengen sind gleich, wenn sie jeweils Teilmengen voneinander sind).
2. Jetzt nimmt er die offenkundig falsche Aussage y € x und baut daraus: y € x -> y € x', die wahr ist, weil der Antecedens falsch ist. Dadurch kann man folgern, dass x eine Teilmenge von x' ist, weil kein Element y von x nicht in x' ist.
3. Weiterhin baut er: y € x' -> y € x und wieder folgert er aus der wegen dem falschen Antecedens wahren Aussage, dass 'x Teilmenge von x ist und da also x und x' jeweils Teilmengen voneinander wären sie gleich.

Warum halte ich den Beweis für falsch? Weil ich mit gleichem Recht in 2. sagen könnte: y € x -> x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ x' und dann wäre bewiesen, dass es 2 leere Mengen gäbe. Das ist auch ganz logisch, denn wer mit ex falso quodlibet etwas beweist, der könnte damit auch das genaue Gegenteil beweisen. Diese Beweismethode ist nicht zwingend und damit wertlos.

Seht ihr das gleich oder verstehe ich da etwas Grundlegendes falsch?

20.11.2016, 10:48

Elvis

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Es wird behauptet $\begin{eqnarray*} y\in x\Rightarrow y\in x' \end{eqnarray*}$ ist wahr (und das ist so). Es wird nicht behauptet $\begin{eqnarray*} y\in x' \end{eqnarray*}$ ist wahr (und das ist auch nicht so). Ebenso kannst Du nicht schließen, dass $\begin{eqnarray*} x\ne x' \end{eqnarray*}$ wahr ist. ( Auch mit lateinischen Ausdrücken verziert kannst Du nicht so schließen. Augenzwinkern

)

21.11.2016, 08:07

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Es wird behauptet $\begin{eqnarray*} y\in x\Rightarrow y\in x' \end{eqnarray*}$ ist wahr (und das ist so). Es wird nicht behauptet $\begin{eqnarray*} y\in x' \end{eqnarray*}$ ist wahr (und das ist auch nicht so). Ebenso kannst Du nicht schließen, dass $\begin{eqnarray*} x\ne x' \end{eqnarray*}$ wahr ist. ( Auch mit lateinischen Ausdrücken verziert kannst Du nicht so schließen. Augenzwinkern

)

Ok, dann behaupte ich Folgendes: y € x -> ~(y € x'). Diese Aussage wäre auch wahr! Weil gilt: A $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ B <=> x € A -> x € B, wäre x keine Teilmenge von x' und damit hätte ich "bewiesen", dass x und x' nicht gleich sein können.

21.11.2016, 08:38

Elvis

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Das ist der gleiche Denkfehler noch einmal. Du kannst die falsche Aussage der Implikation nicht als wahr bezeichnen.

21.11.2016, 14:13

Pippen

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Das verstehe ich nicht:

Die vom Prof konstruierte Aussage y € x -> y € x' ist wahr und deshalb wäre x $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ x'. Seine Aussage y € x' -> y € x ist ebenfalls wahr, weshalb x' $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ x, so dass insgesamt x = x'.

Die von mir konstruierte Aussage y € x -> ~(y € x') ist ebenfalls wahr und deshalb wäre x keine Teilmenge von x' und daher wäre schon die erste Bedingung dafür nicht erfüllt, dass x = x', so dass x ungleich x'. Ich sehe da keinen Unterschied, ich sehe da nur zwei "korrekte" Beweise aufgrund von exq.

21.11.2016, 14:29

Elvis

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So ein Prof weiß mehr als Du und ich Big Laugh

Die Implikation $\begin{eqnarray*} y\in x\Rightarrow y\in x' \end{eqnarray*}$ ist wahr, weil $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ falsch immer wahr ist. Das heißt nicht unbedingt, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wahr ist (das war dein Denkfehler).
Nun ist aber $\begin{eqnarray*} y\in x\Rightarrow y\in x' \end{eqnarray*}$ per def gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} x\subseteq x' \end{eqnarray*}$ , und deshalb ist diese Aussage wahr.
Genau so geht es umgekehrt, und am Ende ist $\begin{eqnarray*} x=x' \end{eqnarray*}$ für zwei leere Mengen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ . Also kann man von der eindeutig bestimmten leeren Menge $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ sprechen.

21.11.2016, 15:36

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
So ein Prof weiß mehr als Du und ich Big Laugh

Das verstehe ich alles und akzeptiere ich! Ich spiegele mal meinen Beweis rein und würde dich bitten die Stelle zu markieren oder zu benennen, wo da der Denkfehler liegt:

Die Implikation y € x -> ~(y € x') ist wahr, weil $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ falsch immer wahr ist. Das heißt nicht unbedingt, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wahr ist.
Nun ist aber $\begin{eqnarray*} y\in x\Rightarrow y\in x' \end{eqnarray*}$ per def gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} x\subseteq x' \end{eqnarray*}$ , doch weil y € x -> ~(y € x') (auch) wahr ist kann also $\begin{eqnarray*} x\subseteq x' \end{eqnarray*}$ nicht gelten.
Genau so geht es umgekehrt (y € x' -> ~(y € x) ist auch wahr und daher auch x' keine Teilmenge von x), und am Ende kann daher nicht gelten: $\begin{eqnarray*} x=x' \end{eqnarray*}$ für zwei leere Mengen.

Wieso würde man die Beweisführung des Prof akzeptieren und meine gegenteilige nicht?

21.11.2016, 16:29

Guppi12

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Dein Denkfehler liegt genau dort:

Zitat:

doch weil y € x -> ~(y € x') (auch) wahr ist kann also $\begin{eqnarray*} x\subseteq x' \end{eqnarray*}$ nicht gelten.

Das ist falsch. Da y € x -> ~(y € x') mitnichten die Negation von y € x -> y € x' (also $\begin{eqnarray*} x\subset x' \end{eqnarray*}$ ) ist, schließen sich die beiden Aussagen nicht gegenseitig aus. Also kann ersteres richtig sein und trotzdem $\begin{eqnarray*} x\subset x' \end{eqnarray*}$ gelten.

21.11.2016, 17:15

Pippen

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Zitat:

Original von Guppi12

Das ist falsch. Da y € x -> ~(y € x') mitnichten die Negation von y € x -> y € x' (also $\begin{eqnarray*} x\subset x' \end{eqnarray*}$ ) ist, schließen sich die beiden Aussagen nicht gegenseitig aus. Also kann ersteres richtig sein und trotzdem $\begin{eqnarray*} x\subset x' \end{eqnarray*}$ gelten.

Super, danke!

Wahnsinn, dass man mit falschen Prämissen (y € x und y € x') trotzdem so einen gültigen (nicht-trivialen) Beweis führen kann. Hatte ich bisher noch nie gesehen.

21.11.2016, 18:15

Elvis

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Der Prof hat recht und Du hast nicht unrecht. Es liegt m.E. an der Interpretation, und nicht an deinem Beweis. Mir scheint, Du hast bewiesen, dass die leere Menge x und die leere Menge x' kein Element gemeinsam haben, also disjunkt sind - und das glauben wir alle.

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