Unterräume von lp

21.11.2016, 11:28

hehoo

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Unterräume von lp

Meine Frage:
Für k=1,2,3,4... betrachte folgende Folgen: $\begin{eqnarray*} e(k)_n = \begin{pmatrix} 1, if n=k \\ 0, else \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich die folgenden Aussagen beweisen oder widerlegen:

1) $\begin{eqnarray*} span{e(k):k=1,2,3,...} \end{eqnarray*}$ ist dicht in $\begin{eqnarray*} l^inf \end{eqnarray*}$
2) Es gibt eine lineare Funktion $\begin{eqnarray*} f:l^inf -> R \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} f\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(e(k))=0 \end{eqnarray*}$
3) Es gibt eine lineare Funktion $\begin{eqnarray*} f:l^inf -> R \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} f(x) = lim(x_n) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x_n) in c \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin echt ziemlich planlos unglücklich

unglücklich

21.11.2016, 12:12

Guppi12

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Hallo, zum ersten Teil habe ich ja schon was in deinem anderen Thread gesagt.

Nachfrage zu 2/3: soll diese lineare Funktion auch noch stetig sein oder ist das egal? In zweitem Fall wäre ein sehr elementarer Beweis möglich.

21.11.2016, 12:32

Yuhe

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Ja f soll in B(X,F) sein. Weißt du was damit gemeint ist?

21.11.2016, 16:26

Guppi12

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , was ist $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ? Ich nehme an, dass $\begin{eqnarray*} B(X,F) \end{eqnarray*}$ die beschränkten linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} E\to F \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

21.11.2016, 16:42

Yuhe

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X ist ein normierter Vektorraum, und F können entweder die reelen oder komplexen Zahlen sein.

B(X,F) ist daher der Raum aller stetigen beschränkten linearen transformationen von X nach F.

21.11.2016, 16:45

Guppi12

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Ja genau. Also sollen die Abbildungen 2/3 stetig sein, wäre sonst auch etwas uninteressant.

Ich gebe für 1/2 einfach mal den Tipp, den Satz von Hahn-Banach zu verwenden. Du musst dir entsprechende Funktionale auf geeigneten Unterräumen definieren und diese dann mit Hahn-Banach fortsetzen.

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21.11.2016, 16:55

Yuhe

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ich bin ganz planlos wie mir dieses Theorem weiterhelfen soll? unglücklich

unglücklich

21.11.2016, 19:16

Guppi12

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Welche Versionen des Satzes von Hahn-Banach kennst du denn?

22.11.2016, 11:19

Yuhe

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die ganz normale... und die für normierte räume?

22.11.2016, 12:18

Guppi12

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Dann sehe ich das Problem nicht so ganz. Der Satz von Hahn-Banach liefert stetige Fortsetzungen von Funktionalen auf Teilräumen. Hier sollst du jeweils Funktionale finden, die auf gewissen Teilräumen bestimmte Eigenschaften haben.

22.11.2016, 12:28

Yuhe

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Ja das ist mir klar.. aber wie kann ich damit beweisen, dass es wirklich eine funktion gibt, die genau das macht?

22.11.2016, 12:29

Guppi12

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Du definierst dir eine Funktion auf einem geeigneten Teilraum, zeigst, dass sie da stetig ist und setzt dann fort.

22.11.2016, 12:35

Yuhe

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hmm verstehe, hast du da einen tipp wie ich da vorgehe.. ich mein es gibt ja super viele verschiedene, wie find ich da genau die passende?

22.11.2016, 12:37

Guppi12

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Naja, welche Teilräume, die alle e_k enthalten, kennst du denn?

22.11.2016, 12:41

Yuhe

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$\begin{eqnarray*} l^1 \end{eqnarray*}$ und c ?

22.11.2016, 12:54

Guppi12

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Beide Ideen wären möglich, allerdings ist es am einfachsten, sich die Teilräume so klein wie möglich zu wählen, weil es dann am einfachsten ist, ein stetiges Funktional darauf zu definieren. Hier würde ich daher empfehlen den Abschluss des spans der e_k zu wählen und einen weiteren 1-dimensionalen Teilraum dazu, der nicht im span enthalten ist. Darauf kannst du dann ein Funktional definieren.

22.11.2016, 13:00

Yuhe

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Ach man es tut mir voll leid, aber ich stehe echt voll an.. kannst du mir ein beispiel für 2) geben und 3) versuch ich dann allein?

22.11.2016, 13:14

Guppi12

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Sei $\begin{eqnarray*} E := \overline{span({e_k})} \end{eqnarray*}$ . Wir betrachten das lineare Funktional $\begin{eqnarray*} \phi: E+ span((1)_{n\in\mathbb N})\to F \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \phi(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x\in E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi((\lambda )_n) = \lambda \end{eqnarray*}$ . Das ist wohldefiniert, weil die konstante Einsfolge nicht in E liegt und stetig (nachrechnen oder argumentieren, dass das so sein muss, weil der Kern abgeschlossen ist).
Eine Hahn-Banach-Fortsetzung dieses Funktionals hat die gewünschten Eigenschaften.

22.11.2016, 13:50

Yuhe

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alles klar, kann ich bei punkt 3) jetzt sagen:

da $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ liegt existiert ein grenzwert für diese folge. Definiere $\begin{eqnarray*} y = lim x_n \end{eqnarray*}$ .

Betrachte nun $\begin{eqnarray*} \alpha: c -> F \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} \alpha(x_n) =y \end{eqnarray*}$

die abbildung ist wohldefiniert weil der limes existiert und stetig da der limes stetig ist.

und wieder laut Hahn-Banach gibt es eine Fortsetzung mit den selben eigenschaften.

stimmt das so?

22.11.2016, 13:53

Guppi12

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Mir gefällt die Formulierung nicht aber die Idee ist richtig. Wenn du voraussetzen kannst, dass der Limes stetig ist, passt das so. Das Funktional für 3) funktioniert übrigens auch für 2)

22.11.2016, 13:56

Yuhe

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was meinst du mit der formulierung? wie würdest du es formulieren?

22.11.2016, 13:58

Guppi12

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Wenn du den Satz von Hahn-Banach kennst, musst du doch schon etwas weiter im Studium sein. Muss ich dir wirklich erklären, dass man Variablen einführt und Folgen nicht das gleiche sind, wie ihre Folgenglieder?

22.11.2016, 14:00

Yuhe

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welche variable habe ich denn nicht definiert?

22.11.2016, 14:04

Guppi12

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x_n. Du fängst sofort an mit: Da x_n in c liegt [...] Außerdem definiert das sein Funktional strenggenommen nur für diese eine spezielle Folge und sagt nicht, was mit den anderen passiert.
Ich will mich da aber ehrlich gesagt eigentlich nicht drüber streiten. Ich denke du hast selbst genug Ahnung, um zu entscheiden, welche Formulierung in ordnung ist. Ich habe nur ausgedrückt, dass ich das so nicht formulieren würde.

22.11.2016, 14:24

Yuhe

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Oh ja da hast du vollkommen recht, ich dachte irgendwie, da das in der Angabe steht ist das eh klar.
Aber du hast recht, besser zu viel als zu wenig aufschreiben.
Ich wollt auch gar nicht, dass das bös rüber kommt, tut mir Leid. Hab nur so einen neuen professor im Ausland bekommen der extrem viel wertlegt auf die Formulierung und ich weiß eh, dass ich da richtig schlecht bin drin, deswegen dachte ich, ich frage dich gleich.

Ich hätte da noch eine frage:
Ich soll auch noch beweisen oder widerlegen das die folgende Aussage stimmt:

Es existiert ein $\begin{eqnarray*} f \in (l^\infty)' \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=1}^{infty} x_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} (x_n) \in l^1 \end{eqnarray*}$

kann ich da genau dasselbe machen wie in der anderen aufgabe?

$\begin{eqnarray*} \beta: l^1 -> F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \beta(x_n)= k \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} k = \sum\limits_{k=1}^{infty} x_n \end{eqnarray*}$ (dieses k existiert, da die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} l^1 \end{eqnarray*}$ liegt.

Wie zeige ich jetzt noch, dass es stetig ist?

22.11.2016, 17:33

Yuhe

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in den summen ist der Laufindex natürlich k und daher $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ Hammer

Hammer

Hammer

22.11.2016, 19:16

Guppi12

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Ist nicht böse rübergekommen, keine Sorge.

Ganz generell zur Formulierung: Ich würde mir Schreibweisen wie:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \beta: l^1 -> F \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \beta(x_n)= k \end{eqnarray*}$ oder auch

Zitat:

da $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ liegt existiert ein grenzwert für diese folge. Definiere $\begin{eqnarray*} y = lim x_n \end{eqnarray*}$ .
Betrachte nun $\begin{eqnarray*} \alpha: c -> F \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} \alpha(x_n) =y \end{eqnarray*}$

abgewöhnen. Du definierst hier für eine spezielle Folge, was $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sein soll und definierst dann für eine spezielle Folge, was $\begin{eqnarray*} \beta((x_n)_n) \end{eqnarray*}$ sein soll. Das definiert diese Funktion aber nicht für alle Folgen. Es ist klar, dass du das so meinst, dass man eben für jede beliebige Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_n \end{eqnarray*}$ sich erstmal ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ als die Summe setzen soll und das dann der Funktionswert sein soll. Das schreibst du aber erstens nicht hin und zweitens wäre das, selbst wenn du es hinschreibst, furchtbar umständlich. Warum schreibst du nicht einfach $\begin{eqnarray*} \beta:l^1\to F, (x_n)_{n\in\mathbb N}\mapsto \sum_{n=1}^\infty x_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \alpha: c\to F, (x_n)_{n\in\mathbb N}\mapsto \lim_{n\to\infty}x_n \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wie zeige ich jetzt noch, dass es stetig ist?

Das kannst du nicht zeigen, denn diese Abbildung ist nicht stetig. Das ist auch der Punkt, wo man widerlegen, kann dass es so eine Abbildung gibt. Zeige, dass die Operatornorm dieser Abbildung, wenn es sie gäbe, unendlich sein muss.

22.11.2016, 19:59

Yuhe

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Oh danke, danke für die Antwort!

Wieso ist eine unendliche operatornorm denn ein widerspruch?

22.11.2016, 20:13

Guppi12

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Welche Eigenschaften der Operatornorm kennst du?

22.11.2016, 20:17

Yuhe

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Eh alle 4, und ich versteh schon, wenn ich sie für diesen operator ausrechne dann ist sie unendlich.. aber wie beweis ich, dass es keine anderen operator gibt?

22.11.2016, 20:21

Guppi12

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Was meinst du mit "alle 4"?
Das ist etwa, wie wenn ich dich frage, welche englischen Wörter du kennst und du antwortest mit "alle 4". Was ist z.B. der Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Operatornorm.

Die Eigenschaft des Operators lässt seine Operatornorm unendlich werden, das hat mit deinem speziellen Versuch garnichts zu tun.

22.11.2016, 20:29

Yuhe

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Ach ich dachte da gibt es genau vier definitionen für die operatornorm!

Ha, jetzt versteht ichs.. du meinst ein operator ist genau dann stetig, wenn die norm endlich ist oder?

22.11.2016, 20:30

Guppi12

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Ja, ich hoffe, das klärt diese Frage:

Zitat:

Wieso ist eine unendliche operatornorm denn ein widerspruch?

22.11.2016, 22:20

Yuhe

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Ja klar! Danke!

Jetzt scheiter ich jedoch gerade mit der berechnung der norm.. Ist schwieriger als ich dachte unglücklich

unglücklich

ich muss ja zeigen dass $\begin{eqnarray*} |f(x)| < ||x||_1 \end{eqnarray*}$ oder?

22.11.2016, 22:29

Guppi12

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Sieh dir nochmal an, welche Norm wir betrachten und was wir zeigen wollen, du scheinst mir nicht konzentriert zu sein.

22.11.2016, 22:37

Yuhe

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oh gott ja, ich bin wohl echt schon müde :S

wir betrachten die supremumsnorm und die einsnorm

also $\begin{eqnarray*} ||f|| = sup( \frac {||f(x)||_\infty} {|f(x)|_1})=\infty \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} sup|f(x)| > |f(x)| \end{eqnarray*}$

aber es muss ja auch $\begin{eqnarray*} >|x| \end{eqnarray*}$ sein.. wie bekomme ich das hin?

22.11.2016, 22:57

Yuhe

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okay nein, ich muss die normen ja genau umdrehen.. und dann passt es auch! smile

smile

endlich!

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