Supremum-Epsilon Definition

22.11.2016, 11:56

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Supremum-Epsilon Definition

Meine Frage:
Hallo alle zusammen wie kann ich die Supremum-Epsilon Definition Beweisen ?

Also diese:

Sei A eine nicht leere menge und sei M = SUP(A) dann gilt :

für alle epsilon >0 existiert ein a element A mit M-epsilon < a

Meine Ideen:
Ich habe leider keine Idee unglücklich

unglücklich

22.11.2016, 13:06

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition

Zitat:

Original von Mathe<3
Hallo alle zusammen wie kann ich die Supremum-Epsilon Definition Beweisen ?

Es ist eine elementare Eigenschaft einer Definition, daß man diese nicht beweisen kann.
Falls es sich um eine äquivalente Definition handelt, wäre erst mal zu klären, wie das Supremum ursprünglich definiert wurde.

22.11.2016, 13:51

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Also genauer gesagt ist das die aufgabe:

Kann ich annehmen das M nicht die kleinste obere schranke ist und daraus schließen das es ein a element Abgibt was nicht größer als M-epsilon ist also ein wiederspuch somit muss M ja die kleinste obere schranke sein verwirrt

verwirrt

22.11.2016, 14:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Hm. Also du mußt bei Aufgabe (a) zwei Richtungen beweisen:

==> : M = sup(A) ==> für alle epsilon > 0 gibt es ein a aus A mit M - epsilon < a

<== : für alle epsilon > 0 gibt es ein a aus A mit M - epsilon < a ==> M = sup(A)

Und jetzt formuliere deinen Beweis für die beiden Richtungen. Ggf. kannst du deinen Ansatz irgendwo einfließen lassen.

22.11.2016, 14:25

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Hmm :/
Könntest du mir zeigen wie das geht ?

22.11.2016, 14:36

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Nun ja, prinzipiell ist deine Idee, einen Widerspruchsbeweis zu führen, ein vernünftiger Ansatz. Dazu mußt du die zu beweisende Aussage negieren. Was ist jetzt bei der Richtung "==>" das Gegenteil von "für alle epsilon > 0 gibt es ein a aus A mit M - epsilon < a" ?

Anzeige

22.11.2016, 15:59

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Für alle Episolon <0 gibt es ein a nicht Element A mit M-epsilon > a ?

22.11.2016, 16:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Nein, da mußt du nochmal nachdenken. Tipp: aus "für alle epsilon > 0 ..." wird "es gibt ein epsilon > 0 ...".

22.11.2016, 16:37

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Also Beweis:

(-->) Annahme es existiert ein epsilon >0 für alle a element A sodass gilt :

M-epsilon >a

stimmt das so die negation ?

22.11.2016, 17:01

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
OK ich denke ich habe es smile

smile

$\begin{eqnarray*} (\Rightarrow ) \text{ Also } M=Sup (A) \Rightarrow \forall \epsilon > 0 \exists a \in A \text{ mit } M - \epsilon <a \end{eqnarray*}$

Annahme : Nehmen wir an es existiert ein Epsilon >0 für alle a element A mit M- epsilon >= a

dann kann M-epsilon niemals größer gleich a element A sein. Da nach Vorraussetzung M die kleinste Obere Schranke von der Menge A ist und davon eine Positive Zahl subtrahiert muss eine Zahl rauskommen die kleiner oder gleich ein element von A ist. Also muss die Negation der Annahme gelten.

$\begin{eqnarray*} (\leftarrow ) \end{eqnarray*}$ Nehmen wir an M wäre nicht die kleinste obere Schranke von der Menge A sondern einfach nur eine obere Schranke dann gilt :

Dann würde M-epsilon nicht immer < a gelten. Man könnte eine Beliebig große Schranke M wählen mit einer Beliebig kleinen epsilon >0 , sodass für M-epsilon kein a element A existiert mit M-epsilon <a.

Wiederspruch. Also muss M die kleinste Obere schranke sein.

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

22.11.2016, 23:22

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
wenn dies richtig wäre könnten wir dann noch die Aufgabe b) machen ?

denn ich habe einfach für die Aufgabe b) Die Folge xn : = n/n+1 gewählt. Der GW davon läuft gegen 1 und das Supremum ist auch 1-

Den Aufgabenteil d) hatte ich so gelöst

f(x)= 1/x g(x)= (-1)^x

Sup(f(x))= 1 Sup(g(x))= 1 Sup(f(x)) + Sup(g(x)) = 2

f(x)+g(x)= 1/x +(-1)^x

= 1+ x* (-1)^x / x

Also Sup ( f(x) +g(x)) = 3/2 also ungleich 2

stimmt das ?

23.11.2016, 09:41

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition

Zitat:

Original von Mathe<3
$\begin{eqnarray*} (\Rightarrow ) \text{ Also } M=Sup (A) \Rightarrow \forall \epsilon > 0 \exists a \in A \text{ mit } M - \epsilon <a \end{eqnarray*}$

Annahme : Nehmen wir an es existiert ein Epsilon >0 für alle a element A mit M- epsilon >= a

dann kann M-epsilon niemals größer gleich a element A sein. Da nach Vorraussetzung M die kleinste Obere Schranke von der Menge A ist und davon eine Positive Zahl subtrahiert muss eine Zahl rauskommen die kleiner oder gleich ein element von A ist. Also muss die Negation der Annahme gelten.

Hier würde ich direkter argumentieren: wenn M - epsilon >= a ist für alle a, ist also M - epsilon eine obere Schranke. Offensichtlich ist aber M - epsilon < M und somit wäre M nicht die kleinste obere Schranke im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zitat:

Original von Mathe<3
$\begin{eqnarray*} (\leftarrow ) \end{eqnarray*}$ Nehmen wir an M wäre nicht die kleinste obere Schranke von der Menge A sondern einfach nur eine obere Schranke dann gilt :

Dann würde M-epsilon nicht immer < a gelten. Man könnte eine Beliebig große Schranke M wählen mit einer Beliebig kleinen epsilon >0 , sodass für M-epsilon kein a element A existiert mit M-epsilon <a.

Wiederspruch. Also muss M die kleinste Obere schranke sein.

Das ist irgendwie durch die Brust ins Auge. Du kannst auch nicht "eine beliebig große Schranke M wählen", denn M ist schon als obere Schranke vorgegeben. Ich würde so vorgehen:

Angenommen M wäre nicht das Supremum von A, sondern M'. Da M obere Schranke ist, ist M > M' und somit $\begin{eqnarray*} \epsilon := M - M' > 0 \end{eqnarray*}$ . Gemäß Voraussetzung gibt es ein a aus A mit $\begin{eqnarray*} M - \epsilon < a \Leftrightarrow M' < a \end{eqnarray*}$ . Damit wäre M' keine obere Schranke im Widerspruch zur Annahme, daß M' Supremum von A ist.

Zitat:

Original von Mathe<3
denn ich habe einfach für die Aufgabe b) Die Folge xn : = n/n+1 gewählt. Der GW davon läuft gegen 1 und das Supremum ist auch 1-

Da frage ich mich, was das soll. verwirrt

verwirrt

Nirgendwo steht, daß sup(A) = 1 ist. Außerdem mußt du auch dafür sorgen, daß die Folgenglieder x_n Elemente von A sind. Da kannst du ja nicht einfach zu einer speziellen Folge greifen.

Zitat:

Original von Mathe<3
Den Aufgabenteil d) hatte ich so gelöst

f(x)= 1/x g(x)= (-1)^x

Sup(f(x))= 1 Sup(g(x))= 1 Sup(f(x)) + Sup(g(x)) = 2

f(x)+g(x)= 1/x +(-1)^x

= 1+ x* (-1)^x / x

Also Sup ( f(x) +g(x)) = 3/2 also ungleich 2

Mal abgesehen davon, daß mir nicht klar ist, was du mit der Umformung 1/x +(-1)^x = 1+ x* (-1)^x / x bezweckst, gibt es das Grundproblem, daß du keine Angaben zur Menge X machst und somit deine Funktionen unter Umständen gar nicht definiert sind. geschockt

geschockt

23.11.2016, 10:27

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Gut dann habe ich wohl Unsinn gemacht Big Laugh

Big Laugh

Könntest du mir für b helfen ?

23.11.2016, 10:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Nun ja, bei Aufgabe b hilft dir das Ergebnis der Aufgabe a:

$\begin{eqnarray*} M=Sup (A) \Rightarrow \forall \epsilon > 0 \exists a \in A \text{ mit } M - \epsilon <a \end{eqnarray*}$

Tipp: setze epsilon = 1 /n . smile

smile

23.11.2016, 10:44

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
muss da nicht ein Äquivalenz Zeichen hin ?

Naja die rechte Seite sieht mir bisschen aus wie die Definition des Grenzwertes verwirrt

verwirrt

M= Sup(A) <--> für alle epsilon >0 existiert ein a element A mit M-a < epsilon

Mhh verwirrt

verwirrt

23.11.2016, 10:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition

Zitat:

Original von Mathe<3
muss da nicht ein Äquivalenz Zeichen hin ?

Im Prinzip ja, aber wir brauchen jetzt die "==>"-Richtung, denn die Existenz des sup(A) haben wir ja.

Mittels meines Tipps müßtest du jetzt eine Folge (x_n) konstruieren können.

23.11.2016, 11:06

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Mhh ok also

M - 1/n < a

M muss ja sozusagen der Grenzwert sein

Also muss irgendwie | (eine Folge ) - M | < epsilon = 1/n aber warum epsilon = 1/n mhh verwirrt

verwirrt

ich würde gerne die Aufgaben mit dir heute noch schaffen und ich weiß du bist immer ab 16 uhr nicht mehr erreichbar :/

23.11.2016, 11:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Also zu n aus N setzen wie $\begin{eqnarray*} \epsilon_n := \frac 1 n \end{eqnarray*}$ . Zu diesem epsilon_n gibt es ein a_n aus A mit $\begin{eqnarray*} M - \frac 1 n < a_n \end{eqnarray*}$ .

Welche Folge x_n könntest du nun nehmen?

23.11.2016, 11:29

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Ich weiß echt nicht weiter verwirrt

verwirrt

xn muss ja aus A sein vllt xn:= an ? geschockt

geschockt

23.11.2016, 11:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Heureka! Jetzt mußt du nur noch zeigen, daß die Folge (x_n) gegen M konvergiert, wobei M := sup(A) ist. (Letzteres sollte wenigstens mal erwähnt werden, daß die Variable M für das Supremum von A steht.)

23.11.2016, 11:49

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Also muss ich eigentlich nur zeigen das die Folge (Xn-M) eine Nullfolge ist.

Wenn ich jetzt überlege in Xn sind ja Elemente aus A. Das letzte Element wäre dann genau das Supremum von A und wenn ich das Supremum vom Supremum abziehe bekomme ich 0 raus.

Also so |(Xn-M) -0| < epsilon

| 0-0| = 0 <epsilon da epsilon immer größer null ist. Also Konvegiert die Folge Xn gegen M.

stimmt das so ?

aber warum haben wir 1/n für epsilon gewählt verwirrt

verwirrt

23.11.2016, 12:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition

Zitat:

Original von Mathe<3
Das letzte Element wäre dann genau das Supremum von A

Es gibt kein "letztes Element" in A, es sei denn, A hätte endlich viele Elemente. Das ist aber eher unwahrscheinlich.

Zitat:

Original von Mathe<3
Also so |(Xn-M) -0| < epsilon

| 0-0| = 0 <epsilon da epsilon immer größer null ist. Also Konvegiert die Folge Xn gegen M.

Wie kommst du auf |0 - 0| ? Da müßte ja x_n dauerhaft gleich M sein. Davon kann aber gar keine Rede sein.

Zitat:

Original von Mathe<3
aber warum haben wir 1/n für epsilon gewählt verwirrt

verwirrt

Damit wir für jedes n ein x_n bekommen, das immer dichter an das M heranrückt, je größer wir das n wählen.

Wir haben ja jetzt, daß $\begin{eqnarray*} M - \frac 1 n < x_n \leq M \end{eqnarray*}$ ist . Die Ungleichung x_n <= M gilt ja, weil M eine obere Schranke ist. Aufgrund des Sandwich-Satzes konvergiert dann die Folge x_n gegen M.

So einfach kann es sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.11.2016, 12:23

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Wow du bist echt sehr gut Freude

Freude

warum bin ich nur so schlecht ich will auch so gut sein traurig

traurig

Also heißt es doch nichts anderes als

wir haben epsilon mit absicht 1/n gewählt da M-1/n gegen M konvegiert

und M-1/n < xn laut voraussetzung. Dann ist aber auch xn <= M weil M das Supremum ist und da das Supremum Konstant ist Konvegiert das gegen M.
Also muss auch xn gegen M konvegieren.

Das ist ja echt toll das begeistert mich ich habe echt Spaß dran smile

smile

können wir nur noch die d) machen zusammen ?

23.11.2016, 13:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition

Zitat:

Original von Mathe<3
Also heißt es doch nichts anderes als

wir haben epsilon mit absicht 1/n gewählt da M-1/n gegen M konvegiert

Klar doch. Absichtslose Mathematik macht man eher selten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mathe<3
können wir nur noch die d) machen zusammen ?

Na ja, was ist da groß zu machen? Du mußt dir eine Menge X ausdenken und zwei Funktionen f und g finden, so daß eben $\begin{eqnarray*} sup_{x \in X} (f+g) \neq sup_{x \in X} (f) + sup_{x \in X} (g) \end{eqnarray*}$ ist. Das kann ja nicht so schwer sein.

23.11.2016, 13:09

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Nagut dann nehme ich die funktion

f(x) = 1/x element (0;1]

g(x) = (-1)^x element {-1,1}

Sup(f(x)) = 1

Sup (g(x))= 1 Sup(f) +Sup(g)= 2

aber f(x)+g(x)= 1/x +(-1)^x
= [latex ] \frac{1+x*(-1)^x}{x} [/latex] element [0; 3/2]

also Sup(f+g)= 3/2 ungleich 2

23.11.2016, 13:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Nun mal langsam. Welche Menge X willst du denn jetzt nehmen? Beachte, daß die Funktionen f und g auf dieser Menge X definiert sein müssen.

23.11.2016, 14:23

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Alles klar smile

smile

Sei X= [-1;1] /{0}

weiter sei f(x) = [latex ]\frac{1}{x} [/latex]

und g(x) = [latex ] (-1)^{x} [/latex]

und weiter.....

bevor ich weiter mache stimmt bis jetzt alles ? Big Laugh

Big Laugh

23.11.2016, 14:35

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Ob es geschickt ist, ein solches f(x) zu wählen, sei mal dahingestellt. Aber bei g(x) bekommst du garantiert ein Problem, z.B. mit dem Funktionswert zu x = 1/2. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde auch nicht so komplizierte Dinge machen. Wähle doch einfach X = [-1;1] und f(x) = x. Suche dir nun noch ein geeignetes g(x).

23.11.2016, 14:41

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Na ich würde g(x) genau so wie f(x) wählen da wäre doch

Sup(f) + Sup(g) = 1

Aber (f+g)(x) = 2x

und Sup(f+g) = 2

so einfach ==0 traurig

traurig

23.11.2016, 14:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition

Zitat:

Original von Mathe<3
Sup(f) + Sup(g) = 1

Blöd ist nur, daß Sup(f) + Sup(g) = 1 + 1 = 2 ist. Big Laugh

Big Laugh

23.11.2016, 15:08

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Das ist mir gerade echt Peinlich so ein fehler traurig

traurig

traurig

traurig

Forum Kloppe

Forum Kloppe

Forum Kloppe

f(x)= x g(x) = -2x

Sup(f(x)) = 1 Sup(g(x))= 2

Sup(f) + Sup(g) = 3

f+g(x) = -x

Sup (f+g) = 1

jetzt muss es doch stimmen traurig

traurig

23.11.2016, 15:11

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Supremum-Epsilon Definition
Ja, damit bin ich einverstanden. (Man hätte auch g(x) = -x nehmen können, aber egal.) Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »