Diffeomorphismus

22.11.2016, 15:22	Thomas2016	Auf diesen Beitrag antworten »
Diffeomorphismus Hi miteinander Ich stehe bei folgender Aufgabe etwas auf dem Schlauch: Zeige, dass es einen Diffeomorphismus $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^2 / \mathbb Z^2 \rightarrow F \end{eqnarray}$ gibt, wobei F die Rotationsfläche des Torus ist. Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht einmal weiss, wie ich beginnen soll. Muss / kann man nicht zuerst die Rotationsfläche parametrisieren? Danke für die Hilfe!
25.11.2016, 13:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \eta: \mathbb R^2\to F=\mathbb S^1\times \mathbb S^1, (t_1,t_2)\mapsto (exp(2\pi it_1),exp(2\pi it_2)) \end{eqnarray}$ oder so ähnlich. vgl. Klaus Lamottke "Riemannsche Flächen", 1.2.6 "Komplexe Tori" , dort ist der Definitionsbereich der Abbildung $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , was ja bekanntlich dasselbe ist. Und es wird nach einem Parallelogrammgitter faktorisiert, nicht notwendig nach $\begin{eqnarray} \mathbb Z^2 \end{eqnarray}$ (das macht man, weil die Tori als Riemannsche Flächen unterschiedlich sind, topologisch sind natürlich alle Tori äquivalent).

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