Trigonometrischer Pythogoras

23.11.2016, 15:20

matheprobe

Trigonometrischer Pythogoras

Meine Frage:
Hallo,

ich soll zeigen:
sind $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha ^2+\beta ^2= 1 \end{eqnarray*}$ gegeben, dann gibt es ein eindeutig bestimmtes $\begin{eqnarray*} \phi \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha =cos\phi und \beta =sin\phi 0\leq \phi\leq 2\pi \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich habe mit
$\begin{eqnarray*} \sin(\phi) ^2= \frac{a}{c} \\ \cos(\phi) ^2= \frac{b}{c}\\ \Rightarrow \left(\frac{a}{c} \right)^2 + \left(\frac{b}{c} \right) ^2= 1\\ ...\frac{c^2}{c^2} = 1\\ 1=1 \end{eqnarray*}$
den pythagoras bewiesen allerding soll ich ja zeigen dass es ein \phi gibt für das die Gleichung gilt. Wie kommt man darauf?

23.11.2016, 15:29

klarsoweit

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RE: Trigonometrischer Pythogoras

Zitat:

Original von matheprobe
sind $\begin{eqnarray*} \alpha ,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha ^2+\beta ^2= 1 \end{eqnarray*}$ gegeben, dann gibt es ein eindeutig bestimmtes $\begin{eqnarray*} \phi \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha =cos\phi und \beta =sin\phi 0\leq \phi\leq 2\pi \end{eqnarray*}$

Hier muß es wohl heißen: $\begin{eqnarray*} 0 \leq \phi < 2\pi \end{eqnarray*}$

Zur Aufgabe: falls die Tangens-Funktion genutzt werden darf, wäre das ein möglicher Weg.

23.11.2016, 15:31

matheprobe

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Ja das ist exakt der text der im buch steht

23.11.2016, 15:31

matheprobe

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oh ja nicht kleiner gleich sondern nur kleiner, entschuldigung

23.11.2016, 15:32

HAL 9000

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Ja, bei dieser Aufgabe muss man sorgfältig umgehen mit den < und <. Augenzwinkern

Insgesamt geht es de facto um die Existenz und Eindeutigkeit der Polarkoordinatendarstellung speziell für Punkte $\begin{align*} (\alpha,\beta) \end{align*}$ auf dem Einheitskreis (d.h. mit r=1).

23.11.2016, 15:34

matheprobe

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Den Tangens zeige ich erst später. Damit kann ich es also nicht machen

23.11.2016, 15:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheprobe
Ja das ist exakt der text der im buch steht

Ich hatte erst etwas überlesen und daraufhin meinen Beitrag editiert. Und das mit dem "kleiner 2pi" hat sich ja nun geklärt. smile

Zitat:

Original von matheprobe
Den Tangens zeige ich erst später. Damit kann ich es also nicht machen

OK. Wenn man auf die Polarkoordinaten schaut, dann sieht man, daß jeder Punkt (alpha, beta) mit $\begin{eqnarray*} \alpha^2 + \beta^2 = 1 \end{eqnarray*}$ auf dem Einheitskreis liegt.

23.11.2016, 15:47

matheprobe

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ja und was mach ich dann verwirrt

23.11.2016, 15:51

klarsoweit

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Nun ja, phi ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Strecke vom Nullpunkt zum Punkt (alpha, beta). smile

23.11.2016, 15:55

matheprobe

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$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ ?

23.11.2016, 16:26

matheprobe

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ich verstehe nicht wirklich wie ich das damit beweisen soll unglücklich

24.11.2016, 09:41

klarsoweit

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Hm, ich weiß jetzt nicht, was der Aufgabensteller erwartet hat, aber meines Erachtens ist das der Beweis:

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn man auf die Polarkoordinaten schaut, dann sieht man, daß jeder Punkt (alpha, beta) mit $\begin{eqnarray*} \alpha^2 + \beta^2 = 1 \end{eqnarray*}$ auf dem Einheitskreis liegt.

Und phi ist der eindeutige Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Strecke vom Nullpunkt zum Punkt (alpha, beta).

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