Median einer stetigen Zufallsvariable

24.11.2016, 08:23

cmplx96

Median einer stetigen Zufallsvariable

Hallo zusammen,
ich habe versucht den Median der Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, die mit der Dichtefunktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x < 0 \\<br /> \frac{1}{6} \cdot x, & 0 \leq x < 2 \\ \frac{1}{12} \cdot (6-x), & 2 \leq x < 6 \\0, & x \geq 6\end{array}\right. \end{eqnarray*}$
angegeben ist.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} P(X \leq \tilde{x}) = F(\tilde{x}) = \int_{-\infty}^{\tilde{x}} \ f(x) \, dx = 0.5 \end{eqnarray*}$
Ich wusste nicht genau, welchen Abschnitt von f ich jetzt nehmen soll, deswegen habe ich getestet:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \! \frac{1}{6} \cdot x \, dx = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .
Daher wusste ich, dass der gesuchte Wert im Intervall $\begin{eqnarray*} 2 \leq x < 6 \end{eqnarray*}$ liegen muss.
Geht das auch eleganter?

Danach habe ich das Integral aufgestellt und gelöst:
$\begin{eqnarray*} \int_{2}^{\tilde{x}} \! \frac{1}{12} \cdot (6-x) \, dx = 0.5 \Leftrightarrow -\frac{1}{24} \cdot \tilde{x}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \tilde{x} - \frac{4}{3} = 0 \end{eqnarray*}$
mit den Lösungen:
$\begin{eqnarray*} \tilde{x}_{1} = 4 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \tilde{x}_{2} = 8 \end{eqnarray*}$ .
Was mich etwas wundert, ist dass es zwei Lösungen gibt. Es kann doch eigentlich nur einen Median geben oder?

Danke im Voraus smile

24.11.2016, 08:57

Dopap

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und wo ist das 1/3 vom ersten Integral geblieben ?

24.11.2016, 09:11

cmplx96

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muss ich das dazu addieren?

24.11.2016, 09:34

HAL 9000

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Na es gehört zur Wahrscheinlichkeitsmasse dazu!!!

Eine generelle Empfehlung für "abschnittsweise" definierte Dichten und die Bestimmung der zugehörigen Verteilungsfunktion:

Zur Bestimmung von $\begin{align*} F(x) \end{align*}$ suche man sich die letzte davor liegende "Übergangsstelle" $\begin{align*} x_0\leq x \end{align*}$ , dann ist gemäß Definition der Verteilungsfunktion

$\begin{align*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t)~ \dd t = \int\limits_{-\infty}^{x_0} f(t)~ \dd t ~+~ \int\limits_{x_0}^x f(t)~ \dd t = F(x_0) ~+~ \int\limits_{x_0}^x f(t)~ \dd t \end{align*}$ .

Auf diese Art und Weise "hangelt" man sich von links aus $\begin{align*} -\infty \end{align*}$ kommend langsam hoch, bis man $\begin{align*} F(x) \end{align*}$ für alle (nötigen) reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ bestimmt hat.

Auf den vorliegenden Fall bezogen:

$\begin{align*} F(x) = 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\leq 0 \end{align*}$ , speziell $\begin{align*} F(0)=0 \end{align*}$ .

$\begin{align*} F(x) = F(0) + \int\limits_0^x \frac{t}{6} ~ \dd t = \frac{x^2}{12} \end{align*}$ für $\begin{align*} 0\leq x\leq 2 \end{align*}$ , speziell $\begin{align*} F(2) = \frac{1}{3} \end{align*}$ .

$\begin{align*} F(x) = F(2) + \int\limits_2^x \frac{1}{12}(6-t) ~ \dd t = \frac{1}{3} + \int\limits_2^x \frac{1}{12}(6-t) ~ \dd t = \ldots \end{align*}$ für $\begin{align*} 2\leq x\leq 6 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von cmplx96
mit den Lösungen:
$\begin{eqnarray*} \tilde{x}_{1} = 4 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \tilde{x}_{2} = 8 \end{eqnarray*}$ .
Was mich etwas wundert, ist dass es zwei Lösungen gibt.

Mal abgesehen von dem Fehler mit den vergessenen 1/3, der sowieso die ganze Rechnung obsolet macht:

Die Betrachtung von $\begin{eqnarray*} \tilde{x}_{2} = 8 \end{eqnarray*}$ ist vollkommen sinnlos, da dieser Wert außerhalb des Intervalls $\begin{align*} [2,6] \end{align*}$ liegt, was somit die ganze Rechnung mit dem Integralterm $\begin{align*} \frac{1}{12}(6-x) \end{align*}$ für $\begin{align*} x>6 \end{align*}$ komplett ungültig macht.

24.11.2016, 12:57

cmplx96

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Vielen Dank für die Antworten!
Ich komme dann auf die Lösung:
$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{1}{3} + \int_{2}^{x} \! \frac{1}{12} \cdot (6-t) \, dt = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} \cdot (6x-\frac{1}{2}x^{2}-12+2) = -\frac{1}{24}x^{2} + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Für den Median:
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{24}x^{2} + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0.5 \end{eqnarray*}$
mit den Lösungen:
$\begin{eqnarray*} \tilde{x}_{1} = 2.5359 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{x}_{2} = 9.4641 \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \tilde{x}_{2} \end{eqnarray*}$ aufgrund des Definitionsbereiches zu vernachlässigen ist.

24.11.2016, 13:04

HAL 9000

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Ich würde erstmal eine genaue Angabe wie $\begin{align*} \tilde{x}_1 = 6-2\sqrt{3} \end{align*}$ bevorzugen, bevor der gerundete Wert angegeben wird, aber ansonsten ist es Ok.

P.S.: Da nach $\begin{align*} x=6 \end{align*}$ nix mehr in der Dichte kommt, ist es übrigens eine gute Kontrolle, ob mit deiner Formel auch tatsächlich $\begin{align*} F(6)=1 \end{align*}$ rauskommt (wie es "am Ende" der Verteilung ja sein muss). Augenzwinkern

24.11.2016, 13:33

cmplx96

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Alles klar, Danke!

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