Konvergenz in Verteilung und des Erwartungswertes

25.11.2016, 13:40

lissy1234567

Konvergenz in Verteilung und des Erwartungswertes

Meine Frage:
Hallöchen,
Folgende Aufgabe:
Seien Xn,Yn,Zn integierbare, reelle ZV und alle 3 konvergieren in Wahrscheinlichkeit gegen X,Y,Z. Außerdem sei Xn<=Yn<=Zn. Gilt jetzt E(Xn) -> E(X) und E(Zn)-> E(Z), dann folgt, dass E(Yn) -> E(Y).

Meine Ideen:
Nun, anschaulich ist mir klar, wieso das gelten muss. Aber wie der Beweis geht...das ist mir vollkommen spanisch; ich finde auch im Internet nichts dazu.

Grüße und Danke smile

LiSSY

25.11.2016, 16:03

Dukkha

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RE: Konvergenz in Verteilung und des Erwartungswertes

Zitat:

Original von lissy1234567
Meine Frage:
Hallöchen,
Folgende Aufgabe:
Seien Xn,Yn,Zn integierbare, reelle ZV und alle 3 konvergieren in Wahrscheinlichkeit gegen X,Y,Z. Außerdem sei Xn<=Yn<=Zn. Gilt jetzt E(Xn) -> E(X) und E(Zn)-> E(Z), dann folgt, dass E(Yn) -> E(Y).

Meine Ideen:
Nun, anschaulich ist mir klar, wieso das gelten muss. Aber wie der Beweis geht...das ist mir vollkommen spanisch; ich finde auch im Internet nichts dazu.

Grüße und Danke smile

LiSSY

Versuch mal mit dem Satz der dominierten Konvergenz:

Wenn $\begin{eqnarray*} (Y_n)\xrightarrow{P}Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |Y_n|\leq Z \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} Z\in L^1(P) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ -fast überall, dann
$\begin{eqnarray*} Y_n,Y\in L^1(P) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty}E(Y_n)=E(Y) \end{eqnarray*}$

und mit Fatou's lemma zu arbeiten:

Für $\begin{eqnarray*} Z_1,Z_2\dots \end{eqnarray*}$ positive ZV gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(\liminf\limits_{n\to \infty} Z_n)\leq \liminf\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}(Z_n)\leq \limsup\limits_{n\to \infty} \mathbb{E}(Z_n)\leq \mathbb{E}(\limsup\limits_{n\to \infty} Z_n) \end{eqnarray*}$

EDIT: Geht es nun um Konvergenz in Wahrscheinlichkeit oder Verteilung?

25.11.2016, 16:47

lissy1234567

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RE: Konvergenz in Verteilung und des Erwartungswertes
Es geht um Konvergenz in Verteilung. Wenn aber gelten muss, dass der Betrag von Yn kleiner gleich Z sein muss, hilft das erstmal wenig ( dominierte Konvergenz)
Zu Fatou: Naja wenn Yn kleiner gleich Zn, dann ist wohl auch der limsupYn kleiner gleich Zn und analog für Xn nur mit liminf...das heißt dass der EW dann zwischen den anderen liegt ? Und mit der dominierten Konvergenz folgt dann dass limE(Yn)=E(Y) ?

25.11.2016, 17:34

Dukkha

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RE: Konvergenz in Verteilung und des Erwartungswertes
Also konvergiert $\begin{eqnarray*} Y_n \end{eqnarray*}$ in Verteilung nach $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und nicht in Wahrscheinlichkeit.

Dann kenne ich nur zwei Möglichkeiten um von Konvergenz in Verteilung auf Konvergenz in $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ zu schliessen:

1. Portmanteau lemma:
$\begin{eqnarray*} Y_n\xrightarrow{D}Y\implies \mathbb{E}(g(Y_n))\to \mathbb{E}(g(Y)) \end{eqnarray*}$ für eine beschränkte Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$

2. Wenn $\begin{eqnarray*} Y_n \end{eqnarray*}$ gleichgradig integrierbar ist. Dann mit Fatou's Lemma und dominierten Konvergenz:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{E}[|Y|]\leq \liminf_{n\to\infty}\mathbb{E}[|Y_n|] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{\alpha\to\infty} \sup_n \int_{|Y_n|>\alpha}|Y_n|dP= \lim_{\alpha\to\infty} \sup_n \mathbb{E} [|Y_n|1_{|Y_n|>\alpha}]=0 \end{eqnarray*}$

Somit $\begin{eqnarray*} Y \in L^1(P) \end{eqnarray*}$ ist integrierbar und somit nach Lebesgue $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\mathbb{E}[Y_n]=\mathbb{E}[Y] \end{eqnarray*}$

25.11.2016, 17:40

lissy1234567

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RE: Konvergenz in Verteilung und des Erwartungswertes
Ich denke eigentlich, dass wir verwenden sollen, dass Xn kleiner gleich Yn kleiner gleich Zn...

26.11.2016, 18:36

Dukkha

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RE: Konvergenz in Verteilung und des Erwartungswertes
Also nur mit Konvergenz in Verteilung $\begin{eqnarray*} Y_n\xrightarrow{D}Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X_n)\to \mathbb{E}(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(Z_n)\to \mathbb{E}(Z) \end{eqnarray*}$ glaube ich nicht, dass die Aussage richtig ist. Die Zufallsvariablen sind nur integrierbar aber nicht beschränkt. Konvergenz in $\begin{eqnarray*} L^1(P) \end{eqnarray*}$ meines Wissens ohne Beschränktheit nicht möglich.

Ich vermute, du hast entweder die Aufgabe falsch abgeschrieben oder du verwechselst hier etwas und dein erster Beitrag (bezüglich Konvergenz in Wahrscheinlichkeit) war richtig (aber der Titel falsch) und es ging hier nicht um Konvergenz in Verteilung, aber ich kenne ja die original Aufgabenstellung nicht.

Wenn wir Konvergenz in Wahrscheinlichkeit haben, dann handelt es sich bei dieser Aufgabe um: Pratt's Lemma

26.11.2016, 20:28

lissy1234567

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RE: Konvergenz in Verteilung und des Erwartungswertes
Es handelt sich tatsächlich um Konvergenz in WahrscheinlichkWahrscheinlicher, sorry !!

27.11.2016, 11:38

Dukkha

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RE: Konvergenz in Verteilung und des Erwartungswertes
Kleiner Tipp so am Rande: Deine Beiträge sind sehr unleserlich, da du kein Latex verwendest. Damit du aber möglichst viele Antworten kriegst, sollten deine Beiträge auch leserlich sein. Schreibe um deine Formeln immer [ latex]......[ /latex] (ohne die Abstände zwischen dem Wort und der linken Klammer).

Auch wenn du Latex nicht beherrschen solltest, so wird der Text wenigstens ein bisschen leserlich und aus "Y<=Z" entsteht $\begin{eqnarray*} Y<=Z \end{eqnarray*}$ . Also [ latex] formel [ /latex]

Die Grundlagen für ein minimales an Latex sind auch nicht schwer:

Ein einfacher Exponent oder ein Indices wie in $\begin{eqnarray*} N^q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N_p \end{eqnarray*}$ kannst du mit N^q bzw. N_p machen.
Falls es mehr als ein Symbol sein sollte, brauchst du geschweifte Klammern. Für $\begin{eqnarray*} Z^{exp} \end{eqnarray*}$ machst du Z^{exp} und für $\begin{eqnarray*} Y_{ind} \end{eqnarray*}$ einfach Y_{ind}.
Ein Pfeil $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ kannst du mit \to machen.
Ein Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{xy} \end{eqnarray*}$ kannst du mit \frac{x+y}{xy} machen
Ein $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ kriegst du mit \infty
Ein Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \end{eqnarray*}$ kriegst du mit \int_0^{\infty}
Eine Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_1^8 \end{eqnarray*}$ erhällst du durch \sum\limits_1^8
Ein $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ erhälst du mit \leq (lesser or equal) bzw. \geq (greater or equal)
Das griechische alphabet $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ in dem du \alpha bzw. \beta schreibst.

Damit solltest du schon über 90% aller Fragen in Latex schreiben können.

30.11.2016, 13:19

lissy1234567

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RE: Konvergenz in Verteilung und des Erwartungswertes
Danke smile

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