Häufungspunkte

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Connor Auf diesen Beitrag antworten »
Häufungspunkte
Meine Frage:
Hi, in der Uni haben wir gerade Häufungspunkte und ich mir mir noch nicht ganz sicher bei dem Thema. Eine Aufgabe lautet nun: Gibt es Teilmengen A mit den Eigenschaften
(i) HP(A) = .
(ii) HP(A) = [0, 1].


Meine Ideen:
Erstmal für i: Wenn ich das richtig verstanden habe, ist die Frage, ob egal bei welcher ganzen Zahl man startet, man für jedes Epsilon unendlich viele reelle Zahlen erhalten würde, was natürlich stimmt. Bewiesen habe ich das jetzt so:
a ; (a+e) - (a-e) 0 (leere Menge). Da A , gibt es unendlich Elemente in jedem HP(A) = . Ich bin mir nun nicht sicher, ob ich das mit den Häufungspunkten überhaupt richtig verstanden habe. Falls nicht, kann mir bitte jemand einen Ansatz zur Lösung verraten ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was du da unter "Meine Ideen" geschrieben hast, macht irgendwie nicht viel Sinn. Was willst du denn z.B. mit "ob egal bei welcher ganzen Zahl man startet, man für jedes Epsilon unendlich viele reelle Zahlen erhalten würde" sagen? verwirrt

heißt Häufungspunkt von , falls es für jedes ein von verschiedenes gibt, dessen Abstand zu kleiner als ist; d.h. .

Tipp zu a: Sei eine Folge mit Grenzwert , und es gelte für alle . Dann ist der einzige Häufungspunkt der Menge der Folgenglieder .
(Es wäre sicherlich eine gute Übung, wenn du das zuerst zeigst.)
Damit kannst du eine Menge angeben, deren Häufungspunkte genau die ganzen Zahlen sind.

Tipp zu b: Zeige: Wenn Häufungspunkte von sind, dann sind alle Punkte in Häufungspunkte.
Oder allgemeiner: Die Menge der Häufungspunkte einer Menge ist abgeschlossen.
Prothanus Auf diesen Beitrag antworten »

zu (I) Wir hatten Häufungspunkte so definiert, dass in einer beliebig kleinen Epsilon-Umgebung unendlich viele Zahlen liegen müssen.
Wenn ich jetzt sage, dass die Menge der ganzen Zahlen Häufungspunkte sein sollen, dann kann ich doch auch eine Zahl zwischen ganzen Zahlen finden, welche unendlich viele Elemente in seiner Umgebung aufweist (im reellen Raum).
Also kann ich keine Teilmenge finden, wo nur die ganzen Zahlen Häufungspunkte sind....
Oder hab ich den Begriff einfach falsch verstanden?

Anmerkung : Wir haben die Häufungspunkte nicht im Zusammenhang mit den Grenzwert gebracht. Auch Konvergenz oder ähnliches hatten wir noch nicht genau formuliert verwirrt

Bei b) hatte ich erstmal an die Menge aller rationalen Zahlen im Intervall [0,1] gedacht. Für diese Menge sollte alle Häufungspunkte ebenfalls im Intervall [0,1] und Elemente der rationalen Zahlen sein, da zwischen 2 rationalen Zahlen unendlich viele reelle Zahlen liegen...

Ich finde es allgemein sehr schwammig formuliert und würde mich über eine Erleuchtung sehr freuen Augenzwinkern

Ist übrigens die gleiche Aufgabe, wie der Herr Connor Big Laugh
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe oben noch etwas ergänzt (in rot); vorher war das, was da stand, falsch.

Oder man nimmt deine Definition mit den unendlich vielen Elementen in jeder -Umgebung. Wichtig ist aber, dass du da "unendlich viele Zahlen aus " schreibst.

Zitat:
Original von Prothanus
Wenn ich jetzt sage, dass die Menge der ganzen Zahlen Häufungspunkte sein sollen, dann kann ich doch auch eine Zahl zwischen ganzen Zahlen finden, welche unendlich viele Elemente in seiner Umgebung aufweist (im reellen Raum).

Das ist falsch (wie du sehen wirst, wenn wir uns eine konkrete Menge überlegt haben Augenzwinkern ).

Nehmen wir erstmal nur eine ganze Zahl, die 0. Fällt dir eine Menge ein, die 0 als Häufungspunkt hat?


Lass uns erstmal diese Aufgabe erledigen, b) machen wir danach.
Prothanus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar zum Beispiel :

Das müsste ja bei 0 einen Häufungspunkt haben, da bei einem kleinen Epsilon > 0 unendliche viele verschiedene Zahlen gibt...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Geschweifte Klammern setzt du in Latex mit \{ bzw. \}


An deiner Formulierung musst du noch arbeiten: Du hast jetzt schon öfters geschrieben "Zu einem gibt es unendlich viele Zahlen." Aber es steht nicht da, welche Eigenschaft diese Zahlen erfüllen sollen.
Das es unendlich viele reelle Zahlen gibt, bestreitet sicherlich keiner. Augenzwinkern

Besser ist: Für jedes gibt es unendlich viele mit .

Und diese Aussage musst du jetzt beweisen.
Außerdem wollen wir auch noch, dass 0 der einzige Häufungspunkt dieser Menge ist; auch das ist zu zeigen.
 
 
Prothanus Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist halt die Frage, wie ich das beweisen soll... Soll ich mein konkret wählen ? Oder wie soll ich den Beweis machen ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst es für alle beweisen. Dieses muss also beliebig sein.
Prothanus Auf diesen Beitrag antworten »

mit

mit

Setze a > b > 0

Daraus folgt :
Wenn ich dann oben die Vorschrift bedenke :



Damit hätte ich doch gezeigt, dass ich immer ein b finden kann, was kleiner als a ist und gleichzeitig größer als ...

Aber irgendwie beweist mir dies ja nicht, dass meine Umgebung unendlich klein werden kann und ich immer noch unendlich viele mit finden kann

Wüsste jetzt auch keine Möglichkeit wie ich dies zeigen soll unglücklich
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das bringt dir eigentlich nichts, was du geschrieben hast.

Zu zeigen ist: Es gibt unendliche viele mit .

Diese Aussage ist dasselbe wie: Es gibt unendlich viele mit .

Wie könnte man jetzt zu beliebig vorgegebenem unendlich viele angeben, die diese Eigenschaft erfüllen?
Prothanus Auf diesen Beitrag antworten »

mit

Aus diesen beiden Behauptungen würde ja folgen, dass sein muss. Also muss sein, aber

Dann is dies doch schon die Vorschrift für das . Und da immer gelten muss,da es nie null werden kann, gibt es auch ein immer ein was dies erfüllt.

Heißt es gibt beliebig viele mit der Eigenschaft

Mann könnte auch zeigen, dass n > n+1 ist aber oder ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz scheint dir noch nicht klar zu sein, was du zeigen sollst. Jedenfalls sehe ich da nirgends einen Beweis der Aussage aus meinem Beitrag.

Und ganz nebenbei gibt es keine natürliche Zahl , für die gilt.

Also: ist irgendeine feste, positive Zahl. Jetzt haben wir die Ungleichung . Das ist äquivalent zu .

Das bedeutet, die Ungleichung wird von allen erfüllt, für die gilt. Und davon gibt es unendlich viele.
Prothanus Auf diesen Beitrag antworten »

Okey und dies müsste ich dann bei a) auch so beweisen ?

Ja mit den Beweisen tue ich mich generell sehr schwer verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt eine Menge mit einzigem Häufungspunkt 0. Könntest du damit eine Menge angeben, deren einziger Häufungspunkt 1 ist? Oder -1? Oder eine beliebige ganze Zahl ?
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Moin, ich klinke mich auch nochmal ein Wink
Wäre dann nicht So eine Menge ?
Danke erstmal, hatte hier nichts mehr erwartet und deswegen nicht mehr hingesehen.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Und damit kannst du (bzw. könnt ihr Augenzwinkern ) jetzt eine Menge angeben, die in a) gesucht wird.
Prothanus Auf diesen Beitrag antworten »

Wie könnte es dann bei (II) aussehen ?

Ich finde dieses Durchschnitt an dieser Stelle seltsam.. Betrifft es nur rationale Zahlen welche zwischen 0 und 1 liegen ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sind alle rationalen Zahlen, die zwischen 0 und 1 (inklusive) liegen. Und wie schon gesagt, gibt es keine Menge, die genau diese Zahlen als Häufungspunkte hat.
Prothanus Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke für deine Geduld und deine Hilfe Freude
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Für jede Umgebung um gibt es, wie schon bewiesen, unendlich viele . Dadurch wären zu den rationalen, auch alle reellen Zahlen Häufungspunkte. Würde das als Beweis reichen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst in deinem Beweis für b) nicht voraussetzen, dass deine Menge dieselbe Struktur hat wie in a) (d.h. von der Form ). kann hier völlig anders aussehen.

Benutze, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen.
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also das heißt, dass zwischen zwei reellen Zahlen, egal wie dicht sie aneinander sind, unendlich viele rationale Zahlen liegen. Demzufolge wären eben diese reellen Zahlen, auch Elemente von HP(A), was laut der Voraussetzung ja nicht sein darf. Kann man das so machen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte das noch formal beweisen, warum man wirklich in jeder Umgebung einer irrationalen Zahl zwischen 0 und 1 unendlich viele Elemente von findet, falls Häufungspunkte von sind.


Fang am besten so an: Sei mit und . Wegen der Dichtheit der rationalen in den reellen Zahlen gibt es eine rationale Zahl mit .
ist laut Voraussetzung Häufungspunkt von . Jetzt betrachte die -Kugel um .

(Ziel ist es, zu zeigen, dass es unendlich viele Elemente aus in der -Kugel um gibt.)
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok.
Da ja nach Definition ein HP von A ist, hat die Umgebung um zwangsläufig unendlich viele Elemente. Da die komplette Umgebung um , Die Umgebung von einschließt, folgt daraus, dass ein HP von A ist, was es aber nach der Voraussetzung nicht sein dürfte. Also gibt es für b keine solche Teilmenge.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kleiner Fehler:
Zitat:
Original von Connor
hat die Umgebung um zwangsläufig unendlich viele Elemente.

Das soll sicherlich ein sein.

Aber sonst passt das.

Falls du Lust hast, kannst du ja mal noch darüber Gedanken machen:
Zitat:
Original von 10001000Nick1
Oder allgemeiner: Die Menge der Häufungspunkte einer Menge ist abgeschlossen.

smile
Connor Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sollte es.
Puh, dann habe ich meinen Aufgabenzettel in Analysis jetzt durch.
Sehr vielen Dank für deine Hilfe Big Laugh
Mach mir über das andere morgen Gedanken.
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