Trigonometrie: Treffpunkt von zwei fahrenden Schiffen berechnen

26.11.2016, 22:48

steffomix

Trigonometrie: Treffpunkt von zwei fahrenden Schiffen berechnen

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Situation:
Zwei Schiffe A und B sind 8,85 km voneinander entfernt. Das Schiff A fährt mit einer Geschwindigkeit von 42km/h.
Seine Fahrtrichtung schließt mit der Verbindungsdstrecke [AB] zum Zeitpunkt der Entfernungsmessung einen Winkel von 75,5° mit ein.

Aufgabe 1:
Welchen Winkel muss die Fahrtrichtung des Schiffes B bei einer Geschwindigkeit von 56km/h mit [AB] einschließen, damit es mit dem Schiff A zusammentrifft?

Wie lange fährt das Schiff bis zum Treffpunkt.

Aufgabe 2:
Mit welcher Geschwindigkeit müsste das Schiff B fahren, um mit dem Schiff A zusammenzutreffen, wenn seine Fahrtrichtung mit [AB] einen Winkel von 60° einschließt?

Ich habe jetzt entnommen:
A = 75,5°
b = 42km/h
a = 56km/h
c = 8,85km

Zuerst habe ich versucht a, b, c auf eine gemeinsame Maßeinheit zu bekommen, alles in m und m/s umgerechnent und herum geschoben aber das macht irgendwie keinen Sinn.

Dann habe ich versucht mit dem Sinus Satz eine gemeinsame Höhe von A und B zu kommen. Macht auch alles keinen Sinn, weil sich Geschwindigkeiten b,c nicht mit Abstand a vertragen (glaube ich).

Das experimentieren mit tan(A)*b um eine Höhe zu bekommen, die mit tan^-1 zum Winkel B zurück gerechnet werden kann brachte mich auf 158...ja was?! km oder km/h? und 70,25° für Schiff B.

Gut, der Winkel 70,25° für Schiff B klingt schon mal realistisch obwohl fast schon wieder zu einfach.

Kurz, ich weiß nicht wo und womit ich anfangen soll.

26.11.2016, 23:09

mYthos

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Der Treffpunkt sei T.
Setze die Wege als Geschwindigkeit mal Zeit (die Einheiten bleiben in km und h), die Zeit bis zum Treffpunkt sei $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt im Dreieck ABT für die beiden Seiten AT und AB und den von ihnen eingeschlossenen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha = 75,5° \end{eqnarray*}$ der Cos-Satz, womit die gegenüberliegende Seite BT berechnet wird:

AT = 42t, AB = 8,85, BT = 56t

$\begin{eqnarray*} (56t)^2 = (42t)^2 + 8,85^2 - 2 \cdot 42t \cdot 8,85 \cos 75,5° \end{eqnarray*}$

Aus dieser Gleichung ist $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ zu berechnen.
Damit werden die anderen Größen berechenbar.
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Anmerkung:
Der Winkel des Schiffes B ist auch ohne Kenntnis von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mittels des Sin-Satzes zu ermitteln, denn $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ kürzt sich aus der Proportion:

$\begin{eqnarray*} \sin \beta : \sin \alpha = 42t : 56t \ \to \ \sin \beta : \sin \alpha = 3 : 4 \ \ldots \end{eqnarray*}$

Das ist vor allem auch hilfreich bei der Berechnung bei der Aufgabe 2

mY+

27.11.2016, 22:59

steffomix

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Danke!
Die Aufgabe hat sich mit dem Sinus Satz in wohlgefallen aufgelöst.

Aber hiermit konnte ich nichts anfangen (überfordert):

$\begin{eqnarray*} (56t)^2 = (42t)^2 + 8,85^2 - 2 \cdot 42t \cdot 8,85 \cos 75,5° \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht nach t aufzulösen, aber das wollte nicht so recht fruchten. Da brauche ich noch etwas Übung.

Wink

27.11.2016, 23:53

mYthos

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Dies führt auf eine gemischt quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , welche mit der Formel aufzulösen ist.

Allerdings gibt es - wegen der nunmehr bekannten Winkel - noch einen einfacheren Weg:
Wir kennen ja jetzt alle Winkel, gamma (= 180° - alpha - beta) liegt gegenüber der Basis = 8,85 km, somit können wir die anderen Seiten direkt berechnen, beispielsweise BT.

Ebenfalls mit dem Sinussatz. BT ist 56*t, daraus wird t (= rd. 0,18 Std. = ca. 10,8 Minuten) errechnet.

mY+

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