Sinussatz: Scheinlösung ausschließen |
| 27.11.2016, 17:41 | RudisehrRatlosXXL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Sinussatz: Scheinlösung ausschließen Habe von einem Dreieck drei Seiten (a=5,7 b=3,2 c=4,1) gegeben. Berechne Beta mit Kosinussatz beta = 33,3° Verwende ich noch mal den Kosinussatz für den 2. Winkel, dann alpha=102°. Das ist eindeutig und damit auch gamma eindeutig 44,7°. Wenn ich nach Beta jedoch gamma mit Sinussatz berechne, bekomme ich 2 Lösungen: gamma1=102° und gamma2=135°. Den zweiten Fall kann ich ausschließen, da alpha2 dann 11,7° wäre - das wiederspricht der Dreiecksungleichung. Wenn ich nach Beta jedoch alpha mit dem Sinussatz ausrechne, erhalte ich alpha1=77,9° und alpha2=102,1°. Die Winkel gamma1=68,8 (SCHEINLÖSUNG!!) und gamma2=44,6° sind die Folge (Innenwinkelsatz) der Winkel gamma1 ist jedoch keine Lösung, obwohl alle Dreiecksungleichungen gelten. Erst wenn ich die drei Verhältnisse des Sinussatzes aufstelle, merke ich, dass c/sinus gamma2 nicht den selben Wert hat, wie z. Bsp. a/sinus alpha2 oder b/sinus beta. Doch wie kann ich das vorher erkennen? Geht das überhaupt? Oder sollte ich für den 2. Winkel bei sss immer den Kosinussatz verwenden? |
||||||
| 27.11.2016, 17:50 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, welche Kongruenzsätze kennst du denn für Dreiecke? |
||||||
| 27.11.2016, 18:01 | RudisehrRatlosXXL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sss, ssw, sws und wsw |
||||||
| 27.11.2016, 18:03 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und du möchtest gamma aus c,b und beta berechnen. Welcher Kongruenzsatz soll das sein? |
||||||
| 27.11.2016, 18:04 | RudisehrRatlosXXL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Allerdings verstehe ich die Frage nicht. Denn nach sss ist ja das gegebene Dreieck eindeutig bestimmt. Somit kann es nur EINE Lösung geben. Doch meine Schwierigkeit besteht darin, die Scheinlösung VORHER oder zumindest während der Rechnung auszuschließen. |
||||||
| 27.11.2016, 18:05 | RudisehrRatlosXXL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit dem Sinussatz |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 27.11.2016, 18:16 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und woher soll der Sinussatz das wissen, dass du noch eine dritte Seite hast und es somit eine eindeutige Lösung geben muss? Du benutzt im Sinussatz drei Größen, die keinen Kongruenzsatz erfüllen, da der Winkel stets der kürzeren Seite gegenüberliegt. Es gibt also 2 Lösungen. Im Kosinussatz benutzt du 3 Seiten, da hast du somit einen Kongruenzsatz und eine eindeutige Lösung. |
||||||
| 27.11.2016, 18:29 | RudisehrRatlosXXL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dass es im Kosinussatz eindeutig wird, habe ich ja schon in meiner Frage geschrieben. Und dass es im Sinussatz zwei Lösungen geben kann auch. Jedoch war meine Frage: WIE kann ich die Scheinlösung ausschließen, wenn sogar die Dreiecksungleichung für diese Scheinlösung gilt (siehe mein Beispiel). Willst du mir mit deiner Antwort sagen, dass dies nicht möglich ist? Oder muss ich es immer so machen, wie ich es oben beschrieben habe? 
|
||||||
| 27.11.2016, 18:45 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und ich habe dir dafür die Erklärung gegeben.
Naja - indem du den Satz benutzt, der ein eindeutiges Ergebnis liefert. Ich hatte gehofft, dass du selbst zu dieser Erkenntnis gelangst... 
|
||||||
| 27.11.2016, 18:54 | RudisehrRatlosXXL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also - zuerst mal vielen Dank für deine Zeit, die du investiert hast. 
Jedoch hätte mir in diesem Fall genügt, wenn du gleich antwortest :"deine letzte Vermutung ist richtig" oder so ähnlich ... räusper, hätte uns beiden Zeit erspart 
|
||||||
| 27.11.2016, 19:03 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun - ich bin mir immer noch nicht sicher, ob du meine Antwort überhaupt richtig verstanden hast. Berechnest du z.B. zuerst den Winkel alpha per Kosinussatz, kannst du danach auch den Sinussatz anwenden für ein eindeutiges Ergebnis. Aber gut - ich denke wir belassen es dabei... Dir noch einen schönen ersten Adventabend! |
||||||
| 27.11.2016, 19:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst die Problematik leicht umgehen und auch mit dem Sinussatz auf eine eindeutige Lösung kommen. Da du ja zu Beginn noch keinen einzigen Winkel hast, berechne zunächst mit dem Cos-Satz den größten Winkel (!), das ist jener, der der größten Seite gegenüberliegt. Alle anderen Winkel sind nun kleiner als dieser, somit kannst du die "Scheinlösung" (die größer als 90° ist), mit Sicherheit ausschließen. ---------- Der Sin-Satz liefert IMMER eine eindeutige Lösung, solange der gegebene Winkel der größeren Seite gegenüberliegt. Der gesuchte Winkel ist dann kleiner als der gegebene. mY+ |
||||||
| 27.11.2016, 19:54 | RudisehrRatlosXXL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt natürlich und ist eine gute Idee für den Kongruenzsatz sss.
Danke!Doch das eigentlich selbe Problem "Scheinlösung" tritt auch bei dieser Aufgabe auf: Geg: Dreieck nach wsw (315 m / 425 m /eingeschlossener Winkel 57°) Ich berechne die dritte Seite mit Kosinussatz: 366 m (also eingeschlossener Winkel ist der zweitgrößte) 1. Fall Wenn ich dann mit dem Sinussatz den Winkel berechne, der der größeren Seite (425 m) gegenüberliegt, bekomme ich wieder eine richtige Lösung (76,9°) und eine Scheinlösung (103,1°). Diese Scheinlösung ist rechnerisch möglich, da auch die Dreiecksungleichung gilt. Den Fehler erkenne ich nur, wenn ich alle drei Sinussatzverhältnisse ausrechne, dann fällt es auf. 2. Fall Berechne ich aber als zweiten Winkel den, der der kleineren Seite (315 m) gegenüberliegt, kann ich die Scheinlösung (richtig: 46,2° Scheinlösung: 133,8°) wegen Innenwinkelsatz ausschließen. Mir geht es eben darum, ob es einen einfachen Weg gibt, die Scheinlösung auch im ersten Fall auszuschließen.
|
||||||
| 27.11.2016, 20:17 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso benennst du nicht deine Seiten und Winkel? Ich nehme mal es geht um b=315 , c=425 und alpha=57° Dann ist a ungefähr 366. Möchtest du nun beta berechnen, benutzt du im Sinussatz b, a und alpha. Alpha liegt der längeren Seite gegenüber. Wir haben somit Ssw und ein eindeutiges Ergebnis von ca. 46,2°. Möchtest du gamma berechnen, benutzt du c, a und alpha. Nun liegt alpha der kürzeren Seite gegenüber, wir haben somit keinen Kongruenzsatz. Wo ist nun also dein Problem? |
||||||
| 27.11.2016, 20:40 | RudisehrRatlosXXL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mit den Kongruenzsätzen ist mir wirklich klar. Ich gehe daher nur auf deinen 2. Fall ein: kein Kongruenzsatz (kein ssw) Also weiß ich: zwei (oder keine) Lösungen: Doch welche ist die richtige?? Beide Lösungen erfüllen den Innenwinkelsatz UND die Dreiecksungleichung und den Ansatz vom Sinussatz. Kann ich die richtige erkennen?? Also muss ich wirklich mit dem kompletten Sinussatz prüfen oder gleich den Kosinussatz nehmen (IMMER, wenn KEIN Kongruenzsatz vorliegt). Danke! |
||||||
| 27.11.2016, 21:14 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In diesem Fall liegt der sogenannte 2. Auflösungsfall vor. A priori gibt es dabei immer 2, 1 oder 0 Lösungen. Wenn du von dem Dreieck von Vornherein NICHTS kennst, ausser c, a und alpha und alpha liegt der kleineren Seite gegenüber, handelt es sich IMMER um den 2. Auflösungsfall. Anders ist es natürlich, wenn durch den Rechnungsverlauf noch andere Bestimmungsstücke des Dreieckes bekannt sind, dann kannst du ja die entsprechende Lösung leicht heraussuchen. Nebenbei bemerkt: Kennst du die Winkel alpha und beta, ist gamma mittels der Winkelsumme 180° zu berechnen (und nicht mehr mit dem Sinussatz). Ich denke, dass du dir da unnötig Probleme verschaffst. mY+ |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
