Elemente der Borel-Sigma-Algebra B |
| 28.11.2016, 01:23 | G1617 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Elemente der Borel-Sigma-Algebra B Hallo! Folgende Frage beschäftigt mich: Ist jedes Elemente der Borel-Sigma-Algebra eine abzählbare Vereingung von Elementen des Erzeugers? Meine Ideen: Ich bin mir unsicher, da es ja ziemlich schwer scheint B explizit aufzuschreiben... |
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| 28.11.2016, 07:53 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Antwort: Nein! Nehmen wir etwa die Borel-Sigmaalgebra der reellen Zahlen und als Erzeuger alle Intervalle, dann ist z.B. die Cantormenge nicht als eine abzählbare Vereinigung von Intervallen darstellbar (ihr Komplement allerdings schon). |
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| 28.11.2016, 11:20 | F14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort 
Ist aber dann nicht zumindest das Komplement stets eine abzählbare Vereinigung von Erzeuger-Elementen, so wie für die Cantor-Menge? Denn B ist ja gerade die kleinste Sigma-Algebra, die alle Erzeuger-Elemente, z.B alle offene Mengen, enthält... |
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| 28.11.2016, 11:52 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, auch das nicht: Sei die Cantormenge des Intervall [0,1] und entsprechend die um eins "verschobene" Cantormenge des Intervall . Dann ist für weder noch dessen Komplement als Vereinigung abzählbarer Intervalle darstellbar. Jetzt kannst du die nächste "einfache" Erweiterungsstufe vorschlagen, und auch darauf werde ich vermutlich eine Gegenbeispiel-Antwort haben. 
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| 28.11.2016, 12:17 | F14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da hätte ich jetzt auch selber draufkommen können 
Naja gut dann belassen wir es dabei, Danke für deine Hilfe! |
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| 28.11.2016, 14:00 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nichts für ungut. Wenn man anfängt zu versuchen, solche Sigma-Algebren strukturell zu verstehen, sucht man gern nach so einfachen konstruktiven Lösungen/Darstellungen solcher Sigma-Algebren - bis man erkennt, dass das nicht geht und die Definition kleinste Sigma-Algebra := Durchschnitt aller Sigma-Algebren, die dieses Erzeugendensystem enthalten zwar konstruktiv schwer verständlich sein mag, aber durchaus ihren tieferen Sinn hat. Es ist immerhin ein Trost, wenn man wie bei der Borel-Sigma-Algebra de facto keine für praktische Belange relevante Teilmenge der reellen Zahlen findet, die nicht drin enthalten ist.
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