Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im Vektorraum

28.11.2016, 21:14

Vanessa Precious

Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im Vektorraum

Hallo,

kann mir jemand eventuell einen Tipp geben, wie ich bei der b und c die Mengen auf lineare Abhängigkeit überprüfen kann? Die Aussage "..vom Grad <=3.." bereitet mir Probleme. Wie ich das mit i machen muss, weiß ich auch nicht, weil i ist ja Wurzel -1.

Liebe Grüße,

Vani

29.11.2016, 09:24

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im Vektorraum
Egal, mit welchen Vektorräumen du es zu tun hast: du solltest wenigstens in der Lage sein, für die einzelnen Mengen mal hinzuschreiben, was da für lineare Unabhängigkeit definitionsgemäß gelten soll.

29.11.2016, 10:47

Vanessa Precious

Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei

a)

I.: $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = 2
II.: 2 $\begin{eqnarray*} $\lambda$ \end{eqnarray*}$ = 1
III.: 2+ $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = 0

-> III. 2+2 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ = 0 -> linear unabhängig

c)

I. $\begin{eqnarray*} $\lambda$ \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} $\lambda$ \end{eqnarray*}$ i + $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = 2
II. $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = 0
III. 1+ $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = 1- i

-> Wegen III. folgt

1+ $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = 1- i |-1
-> $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = -i
-> 0 $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ - Wurzel -1

-> linear unabhängig

Stimmt das so?

29.11.2016, 11:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Vanessa Precious
a)

I.: $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = 2
II.: 2 $\begin{eqnarray*} $\lambda$ \end{eqnarray*}$ = 1
III.: 2+ $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = 0

Müßte es in der 3. Gleichung nicht $\begin{eqnarray*} 2 \lambda + \mu = 0 \end{eqnarray*}$ heißen?

Insgesamt ist dieser Ansatz aber ungenügend, denn damit prüfst du nur, ob sich der dritte Vektor aus den beiden anderen darstellen läßt oder nicht. Daß die beiden ersten Vektoren möglicherweise linear abhängig sind, fällt da unter den Tisch. Vielleicht schaust du dir die Definition der linearen Unabhängigkeit nochmal genauer an.

Zitat:

Original von Vanessa Precious
c)

I. $\begin{eqnarray*} $\lambda$ \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} $\lambda$ \end{eqnarray*}$ i + $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = 2
II. $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = 0
III. 1+ $\begin{eqnarray*} $\mu$ \end{eqnarray*}$ = 1- i

Im Prinzip gilt das gleiche wie oben: hier müßte die 3. Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda + \mu = 1-i \end{eqnarray*}$ lauten, wobei das auch hier der falsche Ansatz ist. Über $\begin{eqnarray*} K = \mathbb C \end{eqnarray*}$ sind die Vektoren linear abhängig.

29.11.2016, 12:15

Vanessa Precious

Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, sorry.

Ich habs jetzt mal mit der Determinante gemacht:

a) (2*8*5) + (-4*(-4)*5) + (3*(-4)*(-10)) - (3*8*5) - ((-4)*(-4)*(5)) - (2*(-4)*(-10))
= 0

-> linear abhängig (0/0/0)

c) Ich weiß jetzt nicht so genau, weil du ja gesagt hättest, dass es linear abhängig ist.
Aber wenn man es mit der Determinante bestimmt, dann kommt

(1+i)*(1)*(1-i)+(1*0*1)+(2*0*1)-(2*1*1)-(1*0)*(1-i)-(1+i)*(0*1)

= 1+2i-2i^2-2
= 1+2i+2-2
= 1+2i
-> Determinante ist ungleich 0 -> linear unabhängig...?

Oder wenn ich es durch das Aufstellen von Gleichungssystemen mache:

I. x+xi+y+2z = 0
II. y = 0
III. x+y+z-zi = 0

I. Gleichung nach z aufgelöst ergibt: z = (x+xi)/2

-> in III.

x+0+(x+xi)/2 - (xi+xi^2)/2 = 0

-> x + (x+xi-xi-x)/2 = 0

-> x = 0

-> y = 0

-> z = 0

-> linear abhängig?

unglücklich

29.11.2016, 12:44

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Vanessa Precious
a) (2*8*5) + (-4*(-4)*5) + (3*(-4)*(-10)) - (3*8*5) - ((-4)*(-4)*(5)) - (2*(-4)*(-10))
= 0

Was hat das jetzt mit den Vektoren der Aufgabe a zu tun? verwirrt

Außerdem funktioniert der Weg mit der Determinante nur bei drei 3-komponentigen Vektoren. Irgendwie machst du (warum auch immer) um den üblichen Ansatz einen großen Bogen. geschockt

Zitat:

Original von Vanessa Precious
c) Ich weiß jetzt nicht so genau, weil du ja gesagt hättest, dass es linear abhängig ist.
Aber wenn man es mit der Determinante bestimmt, dann kommt

(1+i)*(1)*(1-i)+(1*0*1)+(2*0*1)-(2*1*1)-(1*0)*(1-i)-(1+i)*(0*1)

= 1+2i-2i^2-2

Das solltest du nochmal nachrechnen.

Zitat:

Original von Vanessa Precious
I. x+xi+y+2z = 0
II. y = 0
III. x+y+z-zi = 0

I. Gleichung nach z aufgelöst ergibt: z = (x+xi)/2

Die Auflösung nach z ist falsch.

Zitat:

Original von Vanessa Precious
-> x = 0

-> y = 0

-> z = 0

-> linear abhängig?

Wenn x=y=z=0 die einzige Lösung ist, dann wären die Vektoren linear unabhängig, aber nicht linear abhängig.

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im Vektorraum

Verwandte Themen