Skalarprodukt - Winkelberechnung - Einheitsvektoren

28.11.2016, 22:35

FraWe

Skalarprodukt - Winkelberechnung - Einheitsvektoren

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,

ich sitze gerade an einer Aufgabe und komme leider nicht weiter. In Teilaufgabe a) sollte man bzgl. des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis eines Untervektrorraumes in RR^4 berechnen. Das habe ich hinbekommen - das war kein Problem,

Nun sitze ich aber an Teilaufgabe b) fest. Sie lautet: (da der Formeleditor kein Sigma zur Verfügung stellt, schreibe ich anstatt Sigma ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ )

Bezüglich eines Skalarproduktes $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf RR² gelte

||e1|| $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 3 ||e2|| $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 2 und ||2e1 - 3e2|| $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ = 6

Berechnen Sie den Winkel zwischen e1 und e2 bezüglich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Nun ja, ich habe leider keine Idee wie ich da starten soll.

Könntet ihr mir vielleicht einen Anstupser geben wie ich anfangen soll?! Ich denke den Winkel krieg ich hin, aber was ich als erstes tun soll, weiß ich leider nicht.

29.11.2016, 06:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Für den gesuchten Winkel $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} \cos \varphi = \frac{\sigma \left( e_1 , e_2 \right)}{\left\| e_1 \right\|_{\sigma} \cdot \left\| e_2 \right\|_{\sigma}} \end{align*}$

Den Nenner kannst du gemäß den Angaben berechnen. Für den Zähler mußt du

$\begin{align*} \sigma \left( 2e_1 - 3e_2 , 2e_1 - 3e_2 \right) = 36 \end{align*}$

umformen. Verwende links die Bilinearität von $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ und löse die Gleichung nach $\begin{align*} \sigma \left( e_1 , e_2 \right) \end{align*}$ auf.

29.11.2016, 15:17

FraWe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß zwar was Bilinearität bedeuetet, aber iwie krieg ich das nicht hin nach (e1,e2) aufzulösen. Ich kann ja nicht einfach die Koeffizienten rausziehen oder? Ich steh iwie auf dem Schlauch....

29.11.2016, 15:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt halt $\begin{align*} \sigma \left( 2e_1 - 3e_2 , 2e_1 - 3e_2 \right) \end{align*}$ in die einzelnen Skalarprodukt aufdröseln.

29.11.2016, 15:29

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von FraWe
Ich weiß zwar was Bilinearität bedeutet [...] Ich kann ja nicht einfach die Koeffizienten rausziehen oder?

Sag besser klar und deutlich, wenn du nicht weißt, was Bilinearität bedeutet. Eine derartige Rumeierei nützt hier keinem was.

29.11.2016, 18:31

FraWe

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Theorie weiß ich ja auch was das bedeutet, aber ich kanns nicht in die Praxis umsetzen und hänge hier fest.

30.11.2016, 06:02

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Bilinearität ist wie Ausmultiplizieren. Denke dir das $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ weg und einen Malpunkt fürs Komma:

$\begin{align*} \left( 2e_1 - 3e_2 \right) \cdot \left( 2e_1 - 3e_2 \right) = 36 \end{align*}$

$\begin{align*} 2 \cdot 2 \cdot e_1 e_1 + \ldots = 36 \end{align*}$

$\begin{align*} 4 e_1 e_1 + \ldots = 36 \end{align*}$

Das war jetzt nur fürs Schmierblatt. Richtig geht es so:

$\begin{align*} \sigma \left(2e_1-3e_2,2e_1-3e_2 \right) = 36 \end{align*}$

$\begin{align*} 4 \sigma(e_1,e_1) + \ldots = 36 \end{align*}$

An der Stelle der Pünktchen fehlen noch die drei weiteren Glieder, wie sie beim Ausmultiplizieren entstehen.

30.11.2016, 08:15

FraWe

Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke für deine Hilfe!

Jetzt habe ich nach (e1,e2) auflösen können und habe als Ergebnis 3 rausbekommen und für den Winkel 60 Grad.

Danke für die Hilfe smile

30.11.2016, 08:52

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt.

Neue Frage »

Antworten »

Skalarprodukt - Winkelberechnung - Einheitsvektoren

Verwandte Themen