Finde alle Matrizen mit A²=A

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Ceres Auf diesen Beitrag antworten »
Finde alle Matrizen mit A²=A
Meine Frage:
Hallo!

Ich soll rausfinden, welche Matrizen mit A²=A existieren.


Leider komme ich da nicht viel weiter!

Meine Ideen:
Ich habe A² ausgerechnet und die jeweiligen Gleichungen aufgeschrieben:

x²+y=x
x+z=1
yx+zy=y
y+z²=z

Durch Umstellung und PQ-Formel kam ich drauf, dass y <= 0 und z <= 0 sein muss.
Weiter weiß ich leider nicht. Irgendwelche Ideen?

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichung 3 + 2 (diese sind äquivalent) ergibt y = y. Aus 1 und 4 folgt

x^2 - x = z - z^2.

-> x^2 + z^2 + z - x = 0
Das interpretieren wir als implizite z(x) Gleichung:

z^2 + z - ( x - x^2) = 0.

p-q: -0.5 +- sqrt(1/4 + (x - x^2))
Hat also nur für 1/4 + (x - x^2) >= 0 mindestens eine Lösung.

1/4 + (x - x^2) = 0 -> x^2 - x - 1/4 = 0
erneut p-q:

x1/2 = 0.5 +- sqrt(1/4 + 1/4).

Dazwischen ist x^2 - x - 1/4 > 0 und an den Rändern genau Null. Sonst ist es negativ und ein derartiges z existiert nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die dritte Gleichung folgt sofort aus der zweiten Gleichung durch Multiplikation mit , daher kann diese dritte Gleichung weggelassen werden. Genauso folgt aus den ersten beiden Gleichungen

,

damit ist auch die vierte Gleichung automatisch erfüllt.


Betrachten wir nun als beliebig wählbaren reellen Parameter, dann folgt aus diesen ersten beiden Gleichungen unmittelbar , und wir haben als passende Lösungsmatrizen .

Zitat:
Original von Namenloser324
Aus 1 und 4 folgt

x^2 - x = z - z^2.

Gleich am Start ein Vorzeichenfehler, der die komplette Folgerechnung ungültig macht.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Haha mist, stimmt. Egal, war eh nicht Sinn der Sache das ich das löse. Das Vorgehen sollte dennoch passen Augenzwinkern
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