Eigenraum herleiten

30.11.2016, 15:30

balance

Eigenraum herleiten

Hallo,

sei $\begin{eqnarray*} A\in Mat(n\times n, \mathbb K) \end{eqnarray*}$ eine Matrix mit den Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} \lambda_i, i \leq n \end{eqnarray*}$ , dann ist ja der Eigenraum zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} Eig_{\lambda_i}(A)=kern(A-\lambda_i Id_n) \end{eqnarray*}$

Kann mir jeman erklären, wieso der Eigenraum gerade gleich dem kern von $\begin{eqnarray*} A-\lambda_i Id_n \end{eqnarray*}$ ist?

Es scheint wohl eine Folgerung aus dem Fakt zu sein, dass die Nullstellen des charakteristischen Polynoms gerade die Eigenwerte sind. Ein schöner Beweis dazu findet sich hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom

Es gilt also: $\begin{eqnarray*} Av_i=\lambda_i v_i \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ Eigenvektoren zu $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ . Das ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} Id_n A v_i = Id_n \lambda_i v_i \quad \Leftrightarrow \quad Av_i-Id_n\lambda_i v_i = 0 \quad \Leftrightarrow \quad (\underbrace{A-Id_n\lambda_i}_{=:C})v_i=0 \end{eqnarray*}$

Die letzte Gleichung wird für alle nicht invertierbaren Matrizen $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ gelöst. Also gilt $\begin{eqnarray*} det(C)=0 \end{eqnarray*}$ .

Hmm, irgendwie komme ich nicht wirklich darauf. Ich denke, aus der nicht invertierbarkeit folgere ich irgendwie, dass ich den Kern von C [wobei C ja eine Lineare Abbildung beschreibt, da jede quad. Matrix eine solche beschreibt (oder?)] betrachten kann.

An dieser Folgerung scheitere ich gerade. Kann mir hier jemand bitte weiterhelfen?

30.11.2016, 15:39

klarsoweit

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RE: Eigenraum herleiten
Welche Folgerung meinst du jetzt?

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} (\underbrace{A-Id_n\lambda_i}_{=:C})v_i=0 \end{eqnarray*}$ bedeutet doch gerade, daß v_i ein Element des Kerns von C ist.

30.11.2016, 15:59

balance

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RE: Eigenraum herleiten

Zitat:

Original von klarsoweit
Welche Folgerung meinst du jetzt?

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} (\underbrace{A-Id_n\lambda_i}_{=:C})v_i=0 \end{eqnarray*}$ bedeutet doch gerade, daß v_i ein Element des Kerns von C ist.

hmm, ich glaube ich hab meinen etwas idiotischen Fehler gerade gesehen.

Wir haben also:

$\begin{eqnarray*} Cv_i=0 \Leftrightarrow v_i\in Kern(C) \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} Kern(C) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} v_i \in span(U) \end{eqnarray*}$

Sei weiter $\begin{eqnarray*} k=dim(kern(C_i)) \end{eqnarray*}$ . [k ist also die Dimension des Eigenraumes zum u-ten Eigenvektor]

Man sieht nun auch, dass wir zum i-ten Eigenwert höchstens k linear unabhängige Eigenvektoren haben können. Die linear abhängigen interessieren uns nicht, da diese ja nur eine Linearkombination der anderen sind.

Wir können also einfach die Basisvektoren des Eigenraumes als Eigenvektoren wählen.

hmm, scheint ja nicht so mein Tag zu sein heute :P

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