Gruppe der Ordnung 4 . Zeige G ist isomorph zu Z4 oder zu Z2 x Z2

01.12.2016, 15:55

serkar

Gruppe der Ordnung 4 . Zeige G ist isomorph zu Z4 oder zu Z2 x Z2

Meine Frage:
Hallo ,
bin Mathematik Student im ersten Semester und kämpfe sehr mit Lineare Algebra...

Ich würd mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen könntet. Die Frage Lautet wie folgt. Sei G eine endliche Gruppe mit |G| = 4. Zeigen Sie, dass G entweder isomorph zu Z2 × Z2 oder zu Z4 ist.

Meine Ideen:
Was ich bisher weiß ist , |G| = 4 ,dass die Anzahl der Elemente gleiche 4 ist.
Isomorphie bedeutet ich muss zeigen ,dass ein Homomorphismus zwischen G und Z2 X Z2 herrscht und die Abbildung G--> Z2 x Z2 bijektiv ist. Genauso mit Z4.
Homomorphismus zeige ich durch , f(a+b)=f(a)+f(b).
Ich bin mir nicht sicher ob Z2 ( eigentlich steht die 2 im Index genauso die 4 bei Z4) hier Z modulo 2 sein soll , also dass die Restklassen [0],[1] gemeint sind oder ob es mit den symmetrischen gruppen Sn (bijektive abbildung zwischen 1..n-->1...n ) zutuen hat( vermute ich eher). Also iwie muss ich ja zeigen,dass
G zwischen Z2 x Z2 oder G zwischen Z4 ein homomorphismus herrscht und anschließend muss ich zeigen, dass die abbildung bijektiv ist zwischen den beiden Gruppen. Nur weiß ich noch nicht wie ich das mit der Ordnung verknüpfe, Ich weiß das G = 4 elemente besitzt , ich weiß , dass z4= auch 4 elemente besitzen müsste , falls symetrische gruppe Z4={1,2,3,4}, falls modulo Z4= {[0][1][2][3]} , und bei Z2 x Z2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} (?) oder falls modulo Z2 xZ2 = {([0],[0]),([0],[1]),([1],[0]),([1],[1])} (?) , und für eine bijektive abbildung wäre es schonmal gut,dass die elementen anzahl identisch ist. Ich frage mich ob ich evtl noch zeigen muss ob Z2 x Z2, Z4 überhaupt eine gruppe ist. Naja eine art hilfestellung in der Form wie, wie könnte man anfangen und was man evtl zeigen müsste wäre sehr hilfreich. Vielen Dank im Vorraus smile

Habe mir jetzt erstmal überlegt wie diese Gruppe überhaupt aussehen müsste. Sie müsste zum einen ein neutrales element haben, sagen wir 1 , dann noch ein weiteres element a und deren inverse a^-1 = b , also b und noch ein viertes element sagen wir c , wegen der assoziativität in der Gruppe.

01.12.2016, 16:42

serkar

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RE: Gruppe der Ordnung 4 . Zeige G ist isomorph zu Z4 oder zu Z2 x Z2
habe jetzt noch herausgefunden,dass Z2 x Z2 als kleinsche Vierergruppe bekannt ist und deren Relation a^2=b^2=c^2=e sein soll , dies soll irgendwie aus zyklischen Gruppen entstehen (irgendjemand eine einfache Erklärung hierfür?) .
Da meine Gruppe ja die elemente 1 , a,b,c besitzt würde doch folgendes gelten

a^2 = 1 <=> a=1 , analog zu b und c ?

01.12.2016, 16:44

RavenOnJ

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RE: Gruppe der Ordnung 4 . Zeige G ist isomorph zu Z4 oder zu Z2 x Z2
Hi serkar, welcome on board.

Was kannst du schon voraussetzen? Satz von Lagrange? Damit könnte man einfach zeigen, dass alle Elemente außer dem neutralen entweder Ordnung 2 oder 4 haben.

Falls es in der Gruppe ein Element der Ordnung 4 gibt, dann muss es sich um die zyklische Gruppe $\begin{align*} C_4 \end{align*}$ handeln, da eine Gruppe $\begin{align*} G \end{align*}$ , in der ein Element die Ordnung der Gruppe $\begin{align*} |G| \end{align*}$ hat, zyklisch sein muss.

Falls dem nicht so ist, dann gibt es drei Elemente der Ordnung 2. Dadurch wird die Gruppentafel vollständig bestimmt. Da nun in $\begin{align*} \mathbb Z_2\times \mathbb Z_2 \end{align*}$ ebenfalls alle Elemente außer dem neutralen $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ die Ordnung 2 haben, muss die Gruppe isomorph zu $\begin{align*} \mathbb Z_2\times \mathbb Z_2 \end{align*}$ sein.

$\begin{align*} \mathbb Z_2 \end{align*}$ ist in der Tat der Restklassenring modulo 2, allerdings ohne die multiplikative Operation zu berücksichtigen. Es geht hier nur darum, dass $\begin{align*} \mathbb Z_2 \end{align*}$ unter der Addition eine abelsche Gruppe der Ordnung 2 ist. Diese ist isomorph zur symmetrischen Gruppe $\begin{align*} S_2 \end{align*}$ (Permutationen von zwei Elementen; es gibt nur die Identität und die Vertauschung), was klar ist, denn es gibt nur eine Gruppe mit zwei Elementen.

01.12.2016, 16:46

Mulder

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RE: Gruppe der Ordnung 4 . Zeige G ist isomorph zu Z4 oder zu Z2 x Z2
Mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ ist einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gemeint, das ist nur eine andere Schreibweise.

Nun weiß ich ja nicht, welches Wissen verwendet werden darf. Erstes Semester klingt danach, als sei eine eher elementare Herangehensweise gefragt.

Du könntest versuchen, mögliche Verknüpfungstafeln aufzustellen.

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c||c|c|c|c} & e & a & b & c\\ \hline e & e & a & b & c\\ a & a & & & \\ b & b & & & \\ c & c & & & \\ \end{array} \end{eqnarray*}$

(Die jeweils erste und zweite Spalte kann man aufgrund der Eigenschaften des neutralen Elementes ja sofort ausfüllen).

Nun kann man überlegen, welche Kombinationen man so alles finden kann für den Rest. Und dann nachweisen, dass das Gruppen sind und die Isomorphie zeigen. Wenn du alles richtig machst, wirst du - bis auf Isomorphie - eben nur zwei wirklich verschiedene Verknüpfungstafeln basteln können, die Sinn machen. Und dann schnell sehen, dass eine davon strukturell der zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 4 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ entspricht und die andere eben $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ (was die nicht zyklische "Kleinsche Vierergruppe" ist, ich vermute mal, die hattet ihr in der Vorlesung schon).

Weißt du schon, dass die Ordnung eines Gruppenelements ein Teiler der Ordnung der Gruppe G sein muss? Damit ist sofort klar, dass a,b, und c jeweils Ordnung 2 oder 4 haben müssen.

Edit: Meh, die blöde Tabelle hat zuviel Zeit gekostet. Augenzwinkern

Deiner, RavenOnJ.

01.12.2016, 16:55

RavenOnJ

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RE: Gruppe der Ordnung 4 . Zeige G ist isomorph zu Z4 oder zu Z2 x Z2

Zitat:

Original von serkar
habe jetzt noch herausgefunden,dass Z2 x Z2 als kleinsche Vierergruppe bekannt ist und deren Relation a^2=b^2=c^2=e sein soll , dies soll irgendwie aus zyklischen Gruppen entstehen (irgendjemand eine einfache Erklärung hierfür?) .

Die Kleinsche Vierergruppe ist isomorph zum direkten Produkt der abelschen Gruppe $\begin{align*} \mathbb Z_2 \end{align*}$ mit sich selbst, mit Elementen $\begin{align*} \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\} \end{align*}$ . Gruppenoperation ist die Addition der entsprechenden Einträge der Paare modulo 2. Also $\begin{align*} (a,b)+(c,d)=(a+c \!\! \!\mod 2,b+d\!\!\! \mod 2) \end{align*}$ .

Zitat:

Da meine Gruppe ja die elemente 1 , a,b,c besitzt würde doch folgendes gelten

a^2 = 1 <=> a=1 , analog zu b und c ?

Dies ist leider falsch. Die Rückrichtung $\begin{align*} \Leftarrow \end{align*}$ gilt trivialerweise. Die Richtung $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ gilt nicht. Siehe die symmetrische Gruppe $\begin{align*} S_2 \end{align*}$ . Dort ist zweimal Vertauschung gleich der Identität. Wie überhaupt für ein Element $\begin{align*} g \end{align*}$ einer Gruppe, das die Ordnung 2 hat (das Element wohl gemerkt, nicht unbedingt die Gruppe!), gilt: $\begin{align*} g^2=e \end{align*}$ , mit dem neutralen Element $\begin{align*} e \end{align*}$ . Woraus dann allerdings nicht folgt, dass $\begin{align*} g \end{align*}$ gleich $\begin{align*} e \end{align*}$ wäre.

01.12.2016, 17:57

serkar

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RE: Gruppe der Ordnung 4 . Zeige G ist isomorph zu Z4 oder zu Z2 x Z2
Hallo erstmal danke für die schnellen antworten smile

Satz von Lagrange haben wir in der vorlesung gehört, sie lautet wie folgt :
Sei U eine Untergruppe einer endlichen Gruppe und sein |G:U| die Anzahl der Rechtsnebenklassen(Kurze erklärung evtl?) von G modulo U. Dann gilt :
|G|= |G:U| *|U|
Insbesondere ist |U| ein Teiler von |G| .
Wie würde ich den Zeigen, dass ein element meiner Gruppe G die Ordnung 4 hat ?
Habe da was waages im Kopf , sei g element von G , dann ist die Ordnung von g : g^n=e
wobei hier nicht die normale Potenz sondern halt die Gruppenverknüpfung.
Also ich meine das so.

ich habe bei Z4 zbsp die Restklasse [1] und das neutrale Element [0] , dass bedeutet wenn meine gruppenverknüpfung + sei zbsp.

[1]^n=[0] , und das ist für n = 4 , da [1]+[1]+[1]+[1] =[4] modulo 4 =[0] wäre ?
also wäre die ordnung auf [1] element vonm Z4 = 4 ? und somit wäre Z4 zyklisch, da es mindestens 1 element gibt mit der Ordnung 4 (und weil |G| = 4?)
vielen dank schonmal smile

Nochmal zu gruppentafeln , expliziet gemacht haben wir das bisher leider garnicht in der uni:/ deswegen habe ich noch schwierigkeiten ein zu erstellen bzw sie richtig abzulesen:/
edit: die kleinsche Vierergruppe hatten wir nur in einem Nebensatz kurz erwähnt bekommen..

01.12.2016, 18:13

serkar

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RE: Gruppe der Ordnung 4 . Zeige G ist isomorph zu Z4 oder zu Z2 x Z2
habe jetzt die Ordnungen auf den Elementen bestimmt.
Z4:
[0]=1 , [1]=4 , [2]=2 , [3]=4

Z2 x Z2 :

(0,0)= 1
(0,1)=2
(1,0)=2
(1,1)=2 , und damit passt das doch auch mit deinem ersten beitrag überein oder ?
wie müsste ich jetzt weiter gehen ?

01.12.2016, 18:50

RavenOnJ

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RE: Gruppe der Ordnung 4 . Zeige G ist isomorph zu Z4 oder zu Z2 x Z2
Die Ordnung eines Elements $\begin{align*} g\in G, G\text{ endlich} \end{align*}$ ist die kleinste positive Zahl n, sodass $\begin{align*} g^n=e \end{align*}$ . (Daher hat $\begin{align*} e \end{align*}$ immer die Ordnung 1.) Da jedes Element über die Potenzierung eine zyklische Untergruppe von $\begin{align*} G \end{align*}$ generiert und der Satz von Lagrange etwas über die Ordnung von Untergruppen einer Gruppe $\begin{align*} G \end{align*}$ in Relation zur Ordnung von $\begin{align*} G \end{align*}$ aussagt, sagt der Satz damit automatisch etwas über die Ordnung eines Elements von $\begin{align*} G \end{align*}$ aus, nämlich dass auch die Ordnung eines Elements von $\begin{align*} G \end{align*}$ die Ordnung von $\begin{align*} G \end{align*}$ teilen muss. (Beachte die Überladung des Begriffes "Ordnung"! Einerseits in Bezug auf ein Element, andererseits in Bezug auf die Gruppe.)

Die Zahl 4 hat ja nur die Teiler 2 und 4, wenn man von 1 absieht. Es kann also nur Elemente der Ordnung 2 und 4 geben. Du musst zeigen, dass die zyklische Gruppe $\begin{align*} C_4 \end{align*}$ (ich bevorzuge diese Bezeichnung, da damit klar ist, dass es um die Zyklizität geht; bei $\begin{align*} \mathbb Z_4 \end{align*}$ schwingt immer mit, dass es sich um einen Ring handelt, was aber hier gar nichts zur Sache tut) und die Kleinsche Vierergruppe bzw. $\begin{align*} \mathbb Z_2\times \mathbb Z_2 \end{align*}$ (oder besser $\begin{align*} C_2\times C_2 \end{align*}$ ) die einzigen Möglichkeiten sind, eine Gruppe mit 4 Elementen zu bilden.

Was du bisher gemacht hast, ist die $\begin{align*} \mathbb Z_4\simeq C_4 \end{align*}$ und die $\begin{align*} \mathbb Z_2\times \mathbb Z_2 \end{align*}$ auf Ordnungen der Elemente zu untersuchen. Woher willst du damit aber wissen, ob es nicht noch andere Gruppen der Ordnung 4 gibt?

Wenn du bei der nicht-zyklischen Gruppe schlussfolgern kannst, dass die Gruppe eindeutig bestimmt ist, wenn alle Elemente ungleich dem neutralen die Ordnung 2 haben, dann hättest du den Beweis. Eine Gruppentafel wäre damit das Mittel der Wahl. Ein Tipp: In einer Gruppentafel muss jedes Element in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vorkommen. Wie beim Sudoku.

01.12.2016, 19:27

serkar

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RE: Gruppe der Ordnung 4 . Zeige G ist isomorph zu Z4 oder zu Z2 x Z2
Danke für deine Antwort ! Habe jetzt eine Gruppentafel entwickelt mit folgenden relationen
ab=c=ba , ac=b=ca , bc=a=cb , da sei G nicht zyklisch ist ,ist kein Element der Ordnung 4 gegeben nach Lagrange ,dass bdeutet doch hier g^2=1 für alle g element G und 1 das neutrale Element sein.
Also in der hauptdiagonale habe ich schonmal die 1. Denn wäre zb. a*b = 1 wäre das ein widerspruch zu |G|=4 oder ? Ach bin bissi durcheinander und habe iwie nicht so den durchblicjk Hammer

aufjeden fall hat meine Tafel in jeder Spalte und Reihe genau ein element Big Laugh

01.12.2016, 22:25

RavenOnJ

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RE: Gruppe der Ordnung 4 . Zeige G ist isomorph zu Z4 oder zu Z2 x Z2

Zitat:

Original von serkar
Danke für deine Antwort ! Habe jetzt eine Gruppentafel entwickelt mit folgenden relationen
ab=c=ba , ac=b=ca , bc=a=cb , da sei G nicht zyklisch ist ,ist kein Element der Ordnung 4 gegeben nach Lagrange ,dass bdeutet doch hier g^2=1 für alle g element G und 1 das neutrale Element sein.
Also in der hauptdiagonale habe ich schonmal die 1. Denn wäre zb. a*b = 1 wäre das ein widerspruch zu |G|=4 oder ? Ach bin bissi durcheinander und habe iwie nicht so den durchblicjk Hammer

aufjeden fall hat meine Tafel in jeder Spalte und Reihe genau ein element Big Laugh

Normalerweise bin ich nicht so geduldig, was das Folgende angeht (manche wundern sich wahrscheinlich schon Augenzwinkern

):
Ich nehme mal an, du bist des Deutschen mächtig, auch wenn dein Nick auf etwas anderes hindeutet. Ich möchte dich also bitten, auf deine Rechtschreibung (auch Groß-/Kleinschreibung) zu achten. Benutze auch entweder den Formeleditor oder setze die Formeln selber in Latex , was natürlich schon ein wenig anspruchsvoller ist. Aber über kurz oder lang wirst du das sowieso nicht vermeiden können. Ein bisschen Internetrecherche sollte dafür doch drin sein, oder? Du tust dir selber (und mir) keinen Gefallen mit Schlampigkeit. Gerade als Mathematikstudent sollte man akribisch auf exakte Ausdruckweise achten, da schon kleine Unsauberkeiten einen ganzen Beweis zunichte machen können. Und das fängt nun mal mit der Rechtschreibung an.

Für Latex ist beispielsweise diese Seite ganz hilfreich. Ich nutze sie auch öfters. Es geht ja nur um ganz wenige Latex-Token, die du nutzen müsstest. Beispielsweise
\in für $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ ,
g^2 für $\begin{eqnarray*} g^2 \end{eqnarray*}$ ,
\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$
usw. Die in Latex geschriebene Formel
\forall (a,b)\in\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2: (a,b)+(a,b)=(0,0)
würde dann so gerendert werden:
$\begin{eqnarray*} \forall (a,b)\in\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2: (a,b)+(a,b)=(0,0) \end{eqnarray*}$

Zur Sache:

Zitat:

Original von serkar
Habe jetzt eine Gruppentafel entwickelt mit folgenden relationen
ab=c=ba , ac=b=ca , bc=a=cb , da sei G nicht zyklisch ist ,ist kein Element der Ordnung 4 gegeben nach Lagrange ,dass bdeutet doch hier g^2=1 für alle g element G und 1 das neutrale Element sein.

Deine Begründung ist nicht richtig. Du solltest schreiben: „Da es kein Element der Ordnung 4 gibt, kann die Gruppe nicht zyklisch sein“, nicht andersrum. Dass die Gruppe nicht zyklisch ist, war keine Voraussetzung, sondern nur eine Schlussfolgerung.

Wenn du gezeigt hast, dass sich aus den Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} \forall g\in G: g^2=e \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Gruppentafel ergibt, dann weißt du, dass dies neben der zyklischen Gruppe $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ die einzige Gruppe der Ordnung 4 ist. Denn es gibt nur die beiden Möglichkeiten: A) mindestens ein Element hat Ordnung 4, B) kein Element hat Ordnung 4.

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