Span und Untervektorraum eines Vektors

02.12.2016, 15:59

anolalala

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Span und Untervektorraum eines Vektors

Hallo,
ich soll begründen, ob der Vektor (1,1,0) im Untervektorraum von span(1,0,1) + V liegt.

V sind hierbei alle Vektoren (a,b,c) aus R^3 mit a-3b+c = 0

Damit ist das richtig verstanden hab, ist der span von 1,0,1 ja t * (1,0,1).
also (t,0,t). Oder verstehe ich da was falsch. Und wenn ja was hat das jetzt mit dem + V auf sich, also muss ich irgendwie dieses a-3b+c in (t,0,t) einsetzen und wie vergleich ich das denn mit Vektor (1,1,0)?

Hoffe ihr könnt mir helfen

02.12.2016, 18:35

Mulder

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RE: Span und Untervektorraum eines Vektors
$\begin{eqnarray*} \operatorname{span}{(1,0,1)} \end{eqnarray*}$ bildet einen Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Auch $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist ein Untervektorraum. Also ist auch die Summe $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}{(1,0,1)} +V \end{eqnarray*}$ Ein Untervektorraum. Du sollst nun offenbar ermitteln, ob der Vektor $\begin{eqnarray*} (1,1,0) \end{eqnarray*}$ in dieser Summe drinliegt. Denn in $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}{(1,0,1)} \end{eqnarray*}$ liegt er nicht und auch nicht in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , das sieht man schnell. Aber vielleicht liegt er ja in der Summe?

Wie $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}{(1,0,1)} \end{eqnarray*}$ aussieht, hast du richtig erkannt. Schreibe dir $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in ähnlicher Weise auf.

Und dann könntest du ein lineares Gleichungssystem aufstellen, um zu überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} (1,1,0) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}{(1,0,1)} +V \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

02.12.2016, 21:34

Dopap

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darf man hier argumentieren und sagen, dass span(1,0,1) + dem 2-dimensionalen V den R³ ergeben und der (1,1,0) darin mit Sicherheit liegt , unter der gegebenen Voraussetzung, dass span(1,0,1) geschnitten mit V nulldimensional ist verwirrt

verwirrt

02.12.2016, 22:14

Mulder

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Darf man machen, wenn das bekannt ist, ja. Aber um nachzuweisen, dass die Summe $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}{(1,0,1)} +V \end{eqnarray*}$ direkt ist, muss letztlich auch ein LGS gelöst werden. Das kann man ja nicht einfach so als gegeben annehmen. Vom Arbeitsaufwand her bleibt es sich also letztlich gleich, würde ich meinen.

03.12.2016, 02:17

Dopap

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ist zwar nicht mein thread aber das schadet ja nichts. Kann dem TS nur recht sein, falls er mal wieder reinschauen sollte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Um das LGS zu umgehen könnte man doch sagen, dass $\begin{eqnarray*} V^{\perp}=\rm span (1,-3,\,1) \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} {\color{blue}1}a+{\color{blue}-3}b+{\color{blue}1}c=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Und der $\begin{eqnarray*} \rm span(1,0,1) \end{eqnarray*}$ ist dazu offensichtlich nicht senkrecht $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \end{eqnarray*}$ der neue Unterraum ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \Longrightarrow (1,1,0) \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

03.12.2016, 13:49

anolalala

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Erstmal danke für eure Antworten.
Also span von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\-3\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ja irgendwie klar.

würde ich das in nem LGS aufstellen und mit (1,1,0) vergleichen wäre ja das LGS:

1 = s+t
1 = -3t
0 = s+t

Und dann würde ich ja darauf kommen, dass der Vektor 1 1 0 nicht im span von 1 0 1 und V liegt. Wieso meinte Dopap jetzt, dass es doch darin liegt.

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03.12.2016, 14:04

Mulder

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RE: Span und Untervektorraum eines Vektors
Gutes Beispiel für diese Passage aus dem Boardprinzip:

Zitat:

Viele Köche verderben den Brei (oder so ähnlich). Wenn bereits ein Dialog zwischen User und Helfer besteht und alles glatt läuft, halte Deine Vorschläge solange zurück bis das Problem des Users gelöst wurde. Es ist meistens nicht ratsam den User mit den verschiedensten Vorschlägen zu bombardieren.

@anolalala: $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist nicht gleich $\begin{eqnarray*} \rm span (1,-3,\,1) \end{eqnarray*}$ . Das hat Dopap auch nicht geschrieben. Am besten wäre es, du vergisst vorerst, was Dopap geschrieben hat und konzentrierst dich nochmal wieder auf meine erste Antwort oben. Da läuft jetzt zuviel durcheinander und darum stimmen deine Ergebnisse auch nicht.

Also zurück auf Anfang und hier geht es mit weiter:

Zitat:

Original von Mulder
Wie $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}{(1,0,1)} \end{eqnarray*}$ aussieht, hast du richtig erkannt. Schreibe dir $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ in ähnlicher Weise auf.

Und dann könntest du ein lineares Gleichungssystem aufstellen, um zu überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} (1,1,0) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}{(1,0,1)} +V \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

Ich meinte hier, dass du V nicht irgendwie auch als span ausdrücken sollst, sondern genau so, wie du span(1,0,1) als die Menge der Vektoren (t,0,t) ausgedrückt hast. Dann erhälst du ein einfaches LGS.

03.12.2016, 14:14

anolalala

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@Mulder
Ich weiß jetzt nicht ob das richtig ist, aber V ist ja a-3b+c, also ist der Vektor dann wie genau? Nicht (1,-3,1). Der Vektor (2,1,1) wäre ja dann in V. Ich weiß irgendiwe immer noch nicht wie ich da wie addieren soll.

03.12.2016, 14:21

Mulder

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Zitat:

Original von anolalala
aber V ist ja a-3b+c

Ist denn überhaupt klar, was damit gemeint ist? Mit a,b und c sind die drei Komponenten der Vektoren aus V gemeint. Die müssen in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen. Nämlich so, dass $\begin{eqnarray*} a-3b = -c \end{eqnarray*}$ ist. (man hätte auch anders umstellen können, ich hab das jetzt rein willkürlich eben so gemacht). Das bedeutet: Ein Vektor v aus V hat die Form

$\begin{eqnarray*} v= \begin{pmatrix} a \\ b \\ -(a-3b) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder etwas vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} v= \begin{pmatrix} a \\ b \\ 3b-a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Anders ausgedrückt:

$\begin{eqnarray*} v= a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier hast du jetzt die beiden freien Parameter a und b. Die nehmen hier die Rolle ein, die bei dir oben das t eingenommen hat. D.h. diese beiden Vektoren bilden ein Erzeugendensystem von V.

Diese drei Vektoren spannen die Summe $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}{(1,0,1)} +V \end{eqnarray*}$ auf. ALso diese beiden und der oben von dir genannte Vektor (t,0,t).

Das heißt, damit der Vektor (1,1,0) dadrin liegt, muss es möglich sein, den Vektor (1,1,0) als Linearkombination dieser drei Vektoren darzustellen.

Das zu überprüfen ist aber nun dein Job. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2016, 14:29

anolalala

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Dankeschön smile

smile

Das LGS ist also:
1 = t+a
1 = b
0 = t-a+3b
damit ist b=1 und t = -1 und a = 2
Da es eindeutig zu lösen ist liegt der Vektor da also drin?
Richtig?

03.12.2016, 14:31

Mulder

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Jap.

Freude

Da diese drei Vektoren linear unabhängig sind und der R³ Dimension 3 hat, ist somit auch schon klar, dass die direkte Summe span(1,0,1) + V schon der gesamte R³ ist. Und dann muss der Vektor (1,1,0) logischerweise drinliegen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2016, 14:59

anolalala

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Ok die Aufgaben gehen jetzt soweit weiter ich hoffe ich hab sie richtig:
b)
Liegt Vektor (1,0,1) im span(1,1,0) + V
Dann ist das lgs:
1= t+a
0 = t+ b
1 = -a+3b
auch wieder eindeutig zu lösen also liegt der vektor drin

c)
Dimension von span(1,0,1 und 1,1,0) + V
ist ja dann s*(1,1,0) und t(1,0,1) a(1,0,-1) und b(0,1,3)
Da diese alle linear unabhängig sind ist die Dimension 4??

d)
ob Vektor 1,2,3 in span(1,0,1 + 1,1,0) + V liegt

Da hab ich jetzt nein weil wir doch 4 unbekannte in nem lgs mit 3 gleichungen oder sehe ich bei irgendwelchen aufgaben was falsch

03.12.2016, 17:08

Mulder

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RE: Span und Untervektorraum eines Vektors
Bei b) liegt er drin, ja.

Deinen Ausführungen bei c) und d) kann ich nicht wirklich folgen. Bedenke aber, dass du im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ bist. Dieser Vektorraum hat Dimension 3 (jedenfalls aufgefasst als $\begin{eqnarray*} \mathbb R- \end{eqnarray*}$ Vektorraum, aber ich gehe ja mal davon aus, dass dem hier so ist). Es kann also keine vier linear unabhängigen Vektoren geben.

04.12.2016, 16:12

anolalala

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Ok zum Glück ist die zweite Teilaufgabe auch richtig.
c lautet wiefolgt:
Welche Dimension hat der Untervektorraum span{v1, v2} + V ?
v1 = 1 1 0
v2 = 1 0 1
und V ist ja wie gesagt a * (1,0,-1) + b * (0,1,3)
span von v1,v2 ist ja = t* v1 + s*v2

Damit haben wir ja als vektoren v1 und v2 und (1,0,-1) und (0,1,3) also ist die Dimension = 4 weil alle linear unabhängig sind. So dachte ich es mir zumindest

und d lautet:
Liegt Vektor 1,2,3 in span(v1,v2) + V
Da weiß ich nicht wie ich rangehen soll, weil ich 4 Unbekannte hab. Aber da c ja anscheinend falsch ist habe ich dann bei d auch keinen Ansatz

04.12.2016, 16:30

Mulder

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Zitat:

Original von anolalala
Ok zum Glück ist die zweite Teilaufgabe auch richtig.
Damit haben wir ja als vektoren v1 und v2 und (1,0,-1) und (0,1,3) also ist die Dimension = 4 weil alle linear unabhängig sind. So dachte ich es mir zumindest

In a) und b) hast du doch schon nachgewiesen, dass diese vier Vektoren linear abhängig sind. Jetzt machst du die gleichen Rechnungen nochmal und kommst drauf, dass sie linear unabhängig sind???

Und wenn du c) fertig hast, musst du bei d) überhaupt nichts mehr rechnen (wobei du dort selbst dann eigentlich keine vier Unbekannten hättest), siehe dazu meine Ausführungen von gestern, 14:31 Uhr.

So ein bisschen bauen die Teilaufgaben hier wohl aufeinander auf. Wer mitdenkt, kann sich einiges an Arbeit sparen.

04.12.2016, 17:15

anolalala

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Bin grad echt überfordert. Ok also v1 ist linear abhängig zu span v2 + V
v2 ist linear abhängig zu span v1 + V
Aber wieso spannen die jetzt komplett r3 und was bringt mir das jetzt genau mit der Dimension. Stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch. Kannst mir nochmal weiterhelfen? smile

smile

04.12.2016, 18:28

Mulder

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Ich wünschte, ich bekäme jedes Mal einen Euro, wenn dieser Spruch mit dem Schlauch kommt ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es liegt wohl eher daran, dass manche Begrifflichkeiten einfach noch nicht klar sind. Das musst du aber selbst aufarbeiten, ich kann ja jetzt schlecht ein komplettes Vorlesungsskript hier abtippen.

In a) und auch in b) hatten wir doch schon festgestellt, dass die Familie

$\begin{eqnarray*} T= \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$

linear abhängig ist. Wenn das nicht mehr präsent ist, lies dir nochmal genau durch, was wir da gemacht haben.

Im Übrigen - wie ich schon sagte - müssen die auch linear abhängig sein, das geht gar nicht anders. Wir sind nach wie vor im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , dieser hat Dimension 3. Für jeden Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gilt also logischerweise: $\begin{eqnarray*} \mathrm{dim} (U) \leq 3 \end{eqnarray*}$ . Das heißt, vier linear unabhängige Vektoren kann es nicht geben, sonst wäre die Dimension ja größer als 3. Widerspruch! Das hätte dir bei deinen Rechnungen auch sofort auffallen müssen bei c). Dahingehend also bitte verbliebene Wissenslücken schließen, das brauchst du immer wieder.

Andererseits gilt aber auch: Wenn $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist und es gilt $\begin{eqnarray*} \mathrm{dim}(U) = \mathrm{dim}(\mathbb R^3) = 3 \end{eqnarray*}$ , dann gilt natürlich schon $\begin{eqnarray*} U= \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Du musst in c) nun schauen, dass du die Familie

$\begin{eqnarray*} T= \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$

soweit verkleinerst, dass die Familie linear unabhängig wird. In a) zum Beispiel hattest du den Vektor (1,1,0) als Linearkombination der anderen drei Vektoren dargestellt - das heißt, den Vektor (1,1,0) kannst du schonmal rausschmeißen, er ist überflüssiger Ballast. Es verbleibt:

$\begin{eqnarray*} T'= \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$

Der Spann von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ und der Spann von $\begin{eqnarray*} T' \end{eqnarray*}$ stimmen überein.

Frage ist nun: Ist die Familie $\begin{eqnarray*} T' \end{eqnarray*}$ linear unabhängig? Falls ja, bist du fertig. Und die Dimension ist 3. Falls nein, musst du eben einen weiteren geeigneten Vektor eliminieren. Solange, bis der "Rest", der übrig bleibt, linear unabhängig ist.

Und wenn du bei c) auf das richtige Ergebnis kommst, wirst du eben - zusammen mit meinen Ausführungen hier - die Aufgabe d) in einer Zeile erschlagen können, ohne irgendwas rechnen zu müssen. Aber das siehst du dann (hoffentlich). Und noch was:

Zitat:

Ok also v1 ist linear abhängig zu span v2 + V
v2 ist linear abhängig zu span v1 + V

Gut möglich dass du das richtige meinst, aber so ist es natürlich völlig falsch ausgedrückt. Bitte auf saubere Formulierungen achten, das ist in der Mathematik überlebenswichtig.

05.12.2016, 09:13

ShoppingQueen

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Ich habe den Thread jetzt nicht gelesen, aber wollte nur anmerken dass es sich um eine aktuelle Hausaufgabe an meiner Uni handelt.

Ich habe sie selbst noch nicht gemacht, aber ich denke wer sie nicht lösen kann hat auch keine Punkte dafür verdient. ^^ Morgen 15 Uhr ist Abgabe.

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