Innenkreis Dreieck

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Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »
Innenkreis Dreieck
Ich soll hier die Kreisgleichung eines Innenkreis von einem Dreieck berechnen dessen Eckpunkte ABC bekannt sind
A=(-2|-6) B=(10|6) C=(-4|8)
Ich hab mir nun gedacht man könnte den Vektor AM (M=Mittelpunkt des Inkreises) multipliziert mit BC gleich nullsetzen und dann BM * AC kommt man so auf eine lösung?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst den Mittelpunkt des INKreises, nicht des UMKreises!
Welche Eigenschaften hat der Inkreis bezüglich der Seiten des Dreieckes?

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls du mit Innenkreis den Inkreis meinst: Wieso meinst du, dass das

Zitat:
Original von Bebserbebe
Ich hab mir nun gedacht man könnte den Vektor AM (M=Mittelpunkt des Inkreises) multipliziert mit BC gleich nullsetzen

gelten soll? AM steht i.a. nicht senkrecht auf BC, und BM auch nicht auf AC. unglücklich

EDIT: Ok, wieder mal ein wenig langsam.
Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »

ich dachte mir das wenn ein kreis eine gerade berühren soll der vektor vom kreismittelpunkt zum Punkt P (an dem der kreis die gerade berühren soll ) auf die gerade normal ist (?) wie z.b. wenn der kreis die koordiantenachsw berühren soll so ist diese ja auch normal zum vektor vom Mittelpunkt zum punkt P.
Und kann man nicht sagen das nun dieser vektor in einem dreieck auch direkt von der seite c zum Punkt C führt?
Also Kreis berührt c auf einem punkt P MP * dem vektor der geraden C ist Null und der Vektoe würde ja auch zum Eckpunkt C führen (oder hab ich das ganze falsch gedacht?)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie willst du das rechnen?
Das Problem ist, dass weder der Mittelpunkt des Umkreises, noch der Berührungspunkt bekannt sind.
Daher führt diese Überlegung nicht weiter.
---------
Wie bekommt man denn den Inkreismittelpunkt geometrisch?
Diese Eigenschaften musst du dann analytisch umsetzen.

mY+
Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der überlegung meinte ich eh den Inkreis Ich Hab die Punkte z.b. BM*AC =0 alles ausser die Mittelpunkt koordinaten von dort drück ich mir x oder y aus und setze dann in AM*BC oder so?
aber ich weiß nicht ob meine überlegung richtig sein kann man kann sich ja auch ein rechtwinkeliges dreieck vorstellen und da sieht man ja das der vektor von berührungspunkt zum mittelpunkt nicht unbedingt zu einem Eckpunkt führt
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

BM steht auf die Seite a = AC NICHT senkrecht! Mache dir das mal mit einer Skizze klar!

[attach]43165[/attach]
Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »

Ok und wie mach ich das bsp jz? ^^
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Damit das klar ist, habe ich oben noch den Sachverhalt eingefügt.
-----------
Ich habe dich schon gefragt, wie man den Inkreis geometrisch ermittelt.
Das solltest du eigentlich wissen. Ja?

Ein alternativer Weg ist die im angegebenen Wiki-Link vorgestellte Methode der mit den Seitenlängen gewichteten Mittel der Eckpunktskoordinaten.
Allerdings dürfte dies nicht zu den Kenntnissen im Schulbereich gehören.

mY+
Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab das circa verstanden denke ich aber ich solls hier ja nur rechnerisch machen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Warum weigerst du dich hartnäckig, zu sagen, wie man zu dem Inkreis kommt?
Schon etwas vom Schnittpunkt der Winkelhalbierenden gehört?

Du kannst in einem Eckpunkt die Richtungsvektoren einer (Innen-)Winkelhalbierenden aus den von dem Eckpunkt ausgehenden Richtungsvektoren bestimmen.
Dazu normierst du beide Richtungsvektoren (bringst sie auf die Länge 1) und addierst sie.

Hilfe für A (für B oder C machst du es analog):

Vektor von A in Richtung B der Länge 1:
Vektor von A in Richtung C der Länge 1:

Nun werden beide Vektoren addiert, dies ergibt den Richtungsvektor der Winkelhalbierenden des Winkels bei A ():

. Diesen darf man verlängern zu . Mit ergibt sich nun die Gleichung der Geraden, auf der liegt.
-----------------------------

Bei B ist als erster Vektor jener von B nach A zu nehmen, normiert ist er , danach BC, usw.

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man braucht nicht unbedingt über die Winkelhalbierenden zu gehen. Man kann auch mit dem Abstand des Inkreismittelpunktes von den Dreiecksgeraden arbeiten. Es seien und Mittelpunkt und Radius des Inkreises. mYthos' Zeichung zeigt zunächst:



Jetzt kann man mit Hesseschen Normalformen arbeiten.





Da den Abstand von den Geraden hat, folgt:



Das negative Vorzeichen ergibt sich, weil der gewählte Normalenvektor nicht in die Halbebene zeigt, in der liegt.



Hier zeigt der Normalenvektor in die Halbebene von .

Das lineare Gleichungssystem erlaubt die Berechnung von und .

Ich will ausdrücklich betonen, daß diese Lösung nicht beansprucht, besser oder effektiver zu sein. Sie liegt aber vielleicht näher an Bebserbebes Intentionen.

Zitat:
Original von Bebserbebe
ich dachte mir das wenn ein kreis eine gerade berühren soll der vektor vom kreismittelpunkt zum Punkt P (an dem der kreis die gerade berühren soll ) auf die gerade normal ist (?) wie z.b. wenn der kreis die koordiantenachsw berühren soll so ist diese ja auch normal zum vektor vom Mittelpunkt zum punkt P.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung mit der HNF ist sicher "analytischer" und m.E. auch eleganter.
Im Grunde werden damit ebenfalls die Winkelhalbierenden beschrieben (Punkte gleichen Abstandes von den Seiten)
Ich habe bewusst zunächst den geometrisch konstruktiven Weg vorgeschlagen, weil diesen bereits jeder 12-jährige Schüler in der Grundstufe kennt (bzw. kennen sollte).
Zum Schneiden der Winkelsymmetralen ist die Rechnung angesichts der gegebenen Werte allerdings etwas unbequem, so dass sich ein CAS (GeoGebra) anbietet.

Meine Zeichnung und auch die Berechnung habe ich damit erstellt, das geht sehr schnell und effizient.

[attach]43172[/attach]

Übrigens, am schnellsten ist die Methode der mit den Seitenlängen gewichteten Mittel der Eckpunktskoordinaten (Seitenlängen sind a, b, c, leicht zu berechnen).

x_m = (-2a + 10b - 4c) / (a + b + c)
y_m = (-6a - 6b + 8c) / (a + b + c)

mY+
Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry hab grad aber ein großes fragezeichen im kopf weil ich all das nicht kenne warum muss ich die Richtungsvekoren normieren ? würde es mein ergebnis "verfälschen"? ich hätte mir gedacht das bei "Richtungs"vektoren die länge eigentlich egal wäre? ich mein die winkelsymmetrale liegt doch auch so in der Mitte des Winkels unabhängig davon wie lang die zwei vektoren daneben sind?

Ok habs jetzt verstanden ^^
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vektoren sind nur für die Addition zu normieren, denn ansonsten bilden sie keine Raute, mit der Diagonale im halben Winkel.
Allerdings ist deswegen nur essentiell, dass sie gleiche Länge haben. Sie müssen also nicht unbedingt beide die Länge 1 haben, es passt auch jede andere Länge, nur gleich muss sie bei beiden Vektoren sein.
Mit 1 klappt es sicher, bei anderen Längen kommt's auf die Angabe an.

mY+
Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »

Zweites Dreieck
A=(-3|0) AB=(9|0)
B=(6|0) BC=(6|8)
C=(12|8) AC=(15|8)
Nun hab ich diese richtungs vektoren normiert und anschließend addiert also (1|0)+(15/17|8/17) =(32/17|8/17)=Z

(6/10|8/10) + (15/17|8/17) = (252/170|216/170) =V

(6/10|8/10)+(1|0)=(16/10|8/10)=G

Nun muss man doch als geraden gleichung einfach

A+Z*t= (X|Y) Also Mittelpunkt M -3=x-4y

B+V*t=(X|Y) 6=x-2y

C+V*t=(X|Y) 576=216x-252y

Ich hab zwar verstanden wie du auf 5|2 gekommen bist

aber allein wenn ich nun -3+4y=6+2y gleichsetze kommt mir für y=9|2 raus was dem ja wiederspricht irgendwie oder nicht?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du beim Eckpunkt B den Vektor von B nach A orientierst, musst du natürlich (-1; 0) nehmen, anstatt (1; 0) !!
Dann bei den Geradengleichungen die Richtungsvektoren abkürzen, also von A aus ist er (4; 1) und von B aus (-1; 2)

--> IK[M(5; 2); r = 2]

[attach]43207[/attach]

mY+
Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »

Warum muss ich diesen Schritt bei C nicht machen ? also statt BC und AC, CA und CB addieren?
Bzw anscheinend reichen ja 2 winkelhalbierende (?)
aber normalerweise müsste ich schon den selben schritt beim Eckpunkt C machen?
Bebserbebe Auf diesen Beitrag antworten »

Und noch eine frage wenn ich nun M habe könnte ich nicht dann um den Schnittpunkt Bzw den Punkt an dem der Kreis die Seite berührt

A+AB*t=(x|y)
M+Normalvektor AB*t=(x|y) Rechnen also aus den geradengleichungen nach x umwandeln und gleichsetzen um den berührungspunkt (P=(x|y) des kreises an die seite zu erhalten?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Egal, in welcher Ecke du dich befindest, sind die Vektoren immer so zu orientieren, dass sie VOM Eckpunkt ausgehen und in dem ANDEREN Eckpunkt enden.
Also AB und AC, BA und BC und letztendlich CA und CB. Die Symmetrievektoren müssen in das Innere des Dreieckes zeigen.
Anderenfalls wird man die Mittelpunkte der Ankreise erhalten.
--------------
Die Berührungspunkte berechnest du auf die beschrieben Weise, ja smile

mY+
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