Körper mit Vektoren linear unabhängig?

03.12.2016, 16:50	dersreher77	Auf diesen Beitrag antworten »
Körper mit Vektoren linear unabhängig? Meine Frage: Hallo, betrachten wir den Körper Z/2Z. Sind die Vektoren v1(4,0,3) und v2(0,1,0) und v3(-2,0,2) für den Körper linear unabhängig? Meine Ideen: Also ich habe erst das LGS erstellt weil für lineare Unabhängigkeit muss gelten, dass heisst wenn für alle Lambda=0 die Linearkombination =0 ist.( sorry für die Syntax bin am Handy) Dann habe ich wenn ich direkt Restklasse und deren Kongruenz anwende: Sei x,y,z aus dem Körper 0x-0z=0 Y=0 1x+0z=0 --> x=2 also x=0 Jetzt habe ich aber ja bei der ersten Gleichung stehen: 00-0z=0 Heisst das jetzt, weil ich für z auch Restklasse 1 einsetzen KANN dass es dann automatisch abhängig ist? Da bin ich mir nicht 100% sicher.
03.12.2016, 17:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In $\begin{eqnarray} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 2=-2=0 \end{eqnarray}$ . Was heißt das für den Vektor v3 ? Was folgt daraus für jede Menge von Vektoren, die v3 enthält ?
03.12.2016, 19:00	dersreher77	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaa das v3 der Nullvektor ist und man alle skalare für z einsetzen kann. Sprich auch ungleiche des Skalars 0, also abhängig?
03.12.2016, 20:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"abhängig" gibt es in diesem Zusammenhang nicht. Der Nullvektor ist "linear abhängig", weil $\begin{eqnarray} 1\cdot \vec 0=\vec 0 \end{eqnarray}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors ist. Also ist jede Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält, linear abhängig. Man muss sich andere Vektoren nicht mehr ansehen, sobald der Nullvektor dabei ist.
03.12.2016, 20:08	dersreher77	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber was heisst das denn nun für mein Beispiel? Ist die Teilmenge der Vektoren nun linear abhängig, weil es eine nichttriviale Linearkombination gibt? (eben Multiplikation mit der Restklasse 1*0=0 ? )
04.12.2016, 10:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Aristoteles: Jeder Mensch ist sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich. Jede Menge von Vektoren eines Vektorraumes, die den Nullvektor enthält, ist linear abhängig. In deinem Beispiel hast Du eine Menge von Vektoren eines Vektorraumes, die den Nullvektor enthält. Nach Aristoteles ist also auch deine Menge linear abhängig. Man kann heute viele Ideen und Aussagen von Aristoteles bezweifeln, diese syllogistische Logik ist aber nach über 2000 Jahren immer noch richtig.
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