Linear unabhängige Vektoren |
| 04.12.2016, 10:54 | kaLLo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Linear unabhängige Vektoren Seien linear unabhängige Vektoren. Zeige: (a) Die Vektoren sind linear unabhängig (b) Die Vektoren sind linear abhängig Wie kann ich zeigen, dass dies stimmt? Ich habe lineare unabhängigkeit bisher nur gezeigt, wenn ich Vektoren gegeben hatte und diese null sien mussten ...aber wie mache ich das hier? |
||||||
| 04.12.2016, 10:56 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Definition benutzen (etwas umständlich) oder den Gauß-Algorithmus anwenden (elegant und schnell). |
||||||
| 04.12.2016, 11:27 | kaLLo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gauss-Algorithmus heißt doch, dass ich eine Matrix auf Stufenform bringe, oder? Wie mache ich dass dann hier? |
||||||
| 04.12.2016, 11:51 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun, erst einmal die Relation für die lin. Ab-/Unabhängigkeit anschreiben und zeigen, bei a) gilt nur die triviale Relation (alle Parameter sind gleich Null) b) außer der trivialen Relation gilt auch noch die nichttriviale (nicht alle Parameter sind Null, das Gl.System ist abhängig!) Tipp (Parameter sind t1, t2, t3): Ansatz für a) u(t1 + t2) + v(t1 + t3) + w(t2 + t3) = 0 Daraus lGS erstellen ... So weit müsstest du nun klar kommen. mY+ |
||||||
| 04.12.2016, 12:10 | dermaler22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
u(t1 + t2) + v(t1 + t3) + w(t2 + t3) = 0 Wie kommst du darauf? Haben wir nicht eher z(a+d,b+e,c+f) = 0 für den Vektor u+v mit u=: (a,b,c) und v=: (d,e,f) ? |
||||||
| 04.12.2016, 12:47 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
a) Das Gleichungssystem gibt die Matrix . linear unabhängig genau dann wenn Rang der Matrix gleich 3. Zeilen oder Spalten in die Matrix schreiben ist egal, denn Zeilenrang=Spaltenrang=Rang gilt immer. b) genauso, nur das Gleichungssystem und die Matrix ist anders. |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 04.12.2016, 13:00 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann hast du Relation für die lin. Ab-/Unabhängigkeit (noch) nicht verstanden. Für 3 Vektoren a, b, c und die Parameter t1, t2, t3 lautet sie t1*a + t2*b + t3*c = 0 Und für a, b, c setzt du eben u+v, u+w, v+v ein und multipliziere das mal aus und ordne es ... |
||||||
| 04.12.2016, 13:12 | dermaler22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die habe ich wohl verstanden, dann komme ich aber auf d(u+v)+e(u+w)+f(v+w)=0 aber du hast ja dort 2 Skalare die du addierst. |
||||||
| 04.12.2016, 13:14 | dermaler22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, ja verstanden ausmultipliziert und umgestellt damit man nur einen Vektor stehen hat um das LGS zu lösen. 
|
||||||
| 04.12.2016, 13:22 | dermaler22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut jetzt habe ich: I: u(t1 + t2)=0 II: v(t1 + t3)=0 III: w(t2 + t3) =0 Jetzt muss bei I. zb entweder u der Nullvektor sein oder t1+t2 null ergeben. Also wäre in beiden Fällen die lineare Unabhängigkeit erfüllt. Reicht das schon als Begründung? |
||||||
| 04.12.2016, 13:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lasse die Vektoren u, v, w dort weg! Die sind NIE die Nullvektoren. Das System besteht NUR aus t1, t2, t3 Und dieses System musst du nun konventionell lösen. Übrigens, t1 + t2 = 0 reicht NICHT, du musst schon nach den einzelnen t1, t2, t3 lösen! |
||||||
| 04.12.2016, 14:07 | dermaler22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber eigentlich muss ich doch die Summe aller xiui =0 bestimmen, so haben wir Definition von lineare Unabhängigkeit also die Vektoren mitnehmen bzw dann aben die Komponenten der Vektoren aber haben wir ja in dem Fall hier dann nicht aber verstehe dann nicht warum ich die Vektoren einfach rauslassen kann? Und v1 kann doch theoretisch der Nullvektor sein, dann ist es halt direkt linear Unabhängig. |
||||||
| 04.12.2016, 17:29 | kaLLo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe bei der b) jetzt einen Rang der Matrix gleich 2. Bin ich dann damit schon fertig zu zeigen, dass die Vektoren linear abhängig sind? |
||||||
| 04.12.2016, 17:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so schnell geht der Gauß-Algorithmus, und weil die 3.Zeile das 3-fache der 2. Zeile ist, sind die Vektoren linear abhängig. Der Rang ist kleiner als 3. FERTIG. |
||||||
| 05.12.2016, 19:54 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@der maler22 Das stimmt schon, dass die Summe aller ti*ui gleich 0 ist, jedoch sind bei der linearen Unabhängigkeit alle Faktoren (Parameter) ti gleich Null, das ist Bedingung. Somit sind die Vektoren dann schon weg und nur noch die ti bestimmen das Gleichungssystem. mY+ |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
