Lineare Unabhängigkeit im Faktorraum

04.12.2016, 11:32	Derskyheller212	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit im Faktorraum Meine Frage: Die Vektoren v_{1} = (1,1,0) , v_{2}=(1,0,1) , v_{3}=(0,1,1) seien aus dem Vektorraum $\begin{eqnarray} V=\mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} U=(1,2,1) \end{eqnarray}$ der aufgespannte Unterraum. Welche der Vektoren v1+U v2+U und v3+U bilden im Faktorraum eine linear unabhängige Teilmenge? Betrachten sie alle 8 Möglichkeiten. Meine Ideen: Also mit 8 Möglichkeiten habe ich mir gedacht, dass Teilmengen des Unterraums ja einmal $\begin{eqnarray} v1+U = (2,3,1) \end{eqnarray}$ alleine sein kann und dann sind 8 Möglichkeiten eben: $\begin{eqnarray} P(V/U)= \left\{\left\{ v1+U \right\} \left\{ v2 + U\right\} \left\{ v3+U \right\} \left\{ v1+U+v2+U \right\} \left\{ v1+U+v3+U\right\} \left\{ v2 +U +v3 +U \right\} \left\{ v1+U +v2+U+v3+U\right\} \left\{ leere Menge\right\} \right\} \end{eqnarray}$ und dass ich jetzt eben jede Teilmenge davon mit einem Skalar davor gleich dem Nullvektor setze und auf lineare Unabhänigkeit prüfe. Ist das richtig so?
04.12.2016, 14:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu viele "+" zu wenig "," in der 4. bis 7. Menge, übrigens ist der Nullvektor im Faktorraum 0+U=U
04.12.2016, 20:37	Derskyheller212	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja habe die Kommata in der Potenzmenge vergessen, sind denn die 8 Möglichkeiten richtig? Bin mir nicht sicher, ob es v1+U + v2 + U heißen muss sondern v1+v2+U
05.12.2016, 07:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Weder noch, es muss heißen $\begin{eqnarray} \{v_1+U,v2+U\} \end{eqnarray}$ . "," statt "+" Beachte, dass im Faktorraum immer gilt $\begin{eqnarray} (x+U)+(y+U)=x+y+U \end{eqnarray}$ . Damit Vektoren linear unabhängig sein können, braucht man immer mehr als einen Vektor.
05.12.2016, 14:58	Derskyheller212	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein erster Ansatz war es v1+U zu errechnen also =( 2,3,1) und dann a(2,3,1)=0,0,0 und das eben für alle Teilmengen aber das scheint wohl nicht zu gehen, also man darf nicht v1 mit U multiplizieren stattdessen soll wohl a(1,1,0)=(1,2,1) und dann für die linke Seite alle weiteren Teilmengen einsetzen zur Lösung führen. Verstehe aber nicht wieso, weil lineare Unabhängigkeit sich doch eigentlich über skalare mal den Vektor gleich dem Nullvektor definiert (triviale linearkombination).
05.12.2016, 19:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst verstehen, was ein Faktorraum ist. Hier wird ein 3-dimensionaler Vektorraum nach einem 1-dimensionalen Unterraum faktorisiert, also hat der Faktorraum die Dimension 3-1=2. Der Nullvektor des Faktorraums ist $\begin{eqnarray} 0+U=U \end{eqnarray}$ . Du musst nicht $\begin{eqnarray} v_i+U \end{eqnarray}$ berechnen, da die 3 Vektoren $\begin{eqnarray} v_i (i=1,2,3) \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ liegen, ist $\begin{eqnarray} v_i+U\ne U \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} v_i+U \end{eqnarray}$ linear unabhängig. (Jeder Vektor ausser dem Nullvektor ist linear unabhängig.)
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05.12.2016, 20:39	Derskyheller212	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, leuchtet mir alles soweit ein aber warum genau ist jetzt U der Nullvektor in dem Faktorraum? Weil es quasi das additive neutrale Element ist? Also weil der Faktorraum ja mit dem Vektor U aufgespannt ja eine Klasseeinteilung bildet.
05.12.2016, 22:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (0+U)+(0+U)=(0+0)+U=0+U\Rightarrow 0+U \end{eqnarray}$ ist der Nullvektor. Du musst verstehen, was ein Faktorraum ist: Für einen Untervektorraum $\begin{eqnarray} U\le V \end{eqnarray}$ definiert man eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} v\equiv w\Leftrightarrow v-w\in U \end{eqnarray}$ . Die Äquivalenzklassen sind die Mengen $\begin{eqnarray} v+U=\{v+u:u\in U\} \end{eqnarray}$ , und dann definiert man auf $\begin{eqnarray} V/U=\{v+U:v\in V\} \end{eqnarray}$ eine Addition $\begin{eqnarray} v+U+w+U=v+w+U \end{eqnarray}$ und eine Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray} \alpha(v+U)=\alpha v+U \end{eqnarray}$ . Diese sind nur von den Klassen und nicht von den Vertretern abhängt, deshalb heißt die Äquivalenzralation eine Kongruenzrelation.

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