Vektorraum, lineare Relation und lineare Abbildung

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04.12.2016, 18:07	FightClub_77	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum, lineare Relation und lineare Abbildung Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein Vektorraum auf $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ eine Familie von Vektoren. Ebenso sei $\begin{eqnarray} (x_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ eine Familie von Skalaren aus $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Eine lineare Relation von $\begin{eqnarray} (a_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ is jene Familie $\begin{eqnarray} (x_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ für die gilt $\begin{eqnarray} \sum_{i\in I} x_ia_i=0 \end{eqnarray}$ (Nullvektor). D.h. es ist $\begin{eqnarray} x_i=0 \end{eqnarray}$ für fast alle $\begin{eqnarray} i\in I \end{eqnarray}$ . Nun sind zwei Dinge zu zeigen: (i) Alle linearen Relationen von $\begin{eqnarray} (a_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ sind ein Unterraum von $\begin{eqnarray} K^{I} \end{eqnarray}$ (ii) Bei endlicher Indexmenge $\begin{eqnarray} I=\{1,2,\cdots ,r\} \end{eqnarray}$ fassen wir $\begin{eqnarray} (x_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ als Spaltenvektor auf. Bezeichnet $\begin{eqnarray} (e_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ die kanonische Basis von $\begin{eqnarray} K^{r\times 1} \end{eqnarray}$ , so existiert genau eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f: K^{r\times 1}\rightarrow V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e_i\mapsto a_i \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i\in \{1,2,\cdots , r\} \end{eqnarray}$ Es ist zu zeigen: $\begin{eqnarray} (x_1,x_2,\cdots ,x_r)^{T}\in K^{r\times 1} \end{eqnarray}$ ist genau dann eine lineare Relation von $\begin{eqnarray} (a_1,a_2,\cdots ,a_r) \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} (x_1,x_2,\cdots ,x_r)^{T}\in K^{r\times 1}\in ker f \end{eqnarray}$ ------------------------------------------ So, hinsichtlich des ersten Punktes habe ich die Unterraumkriterien abgeprüft. Sicherlich ist der Nullvektor in L (:= die Menge der linearen Relationen). Ebenso wenn gilt $\begin{eqnarray} \sum_{i\in I} x_ia_i=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{i\in I} y_ia_i=0 \end{eqnarray}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray} \sum_{i\in I} x_ia_i+\sum_{i\in I} y_ia_i=0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} c\cdot \sum_{i\in I} x_ia_i=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c \in K \end{eqnarray}$ . Daher wäre L ein Unterraum. Bei zweiten Punkt tue ich mich schwer. Kann mir dabei jemand helfen?
06.12.2016, 09:12	FightClub_77	Auf diesen Beitrag antworten »
Wirklich keiner eine Idee?
06.12.2016, 10:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum, lineare Relation und lineare Abbildung Du hast vorher $\begin{eqnarray} \sum_{i\in I} x_ia_i=0 \end{eqnarray}$ betrachtet. Nun will man eine Abbildung $\begin{eqnarray} x \mapsto f(x) \end{eqnarray}$ definieren. Was wäre da ein guter Kandidat?
06.12.2016, 10:53	FightClub_77	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir leider nicht folgen...
06.12.2016, 10:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst lineare Relationen durch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ charakterisieren. Du weißt, dass eine lineare Relation die Gleichheit $\begin{eqnarray} \sum_{i \in I} x_i a_i = 0 \end{eqnarray}$ erfüllt und du willst ein $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ s.d. genau dann $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Also $\begin{eqnarray} \sum_{i \in I} x_i a_i = 0 \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ . Wie könnte man also $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ wählen?
06.12.2016, 11:23	FightClub_77	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ könnte ja jedem Skalarvektor $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ jenen Vektor $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ zuordnen, für den dieser Vektor eine lineare Relation ist. Oder?
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06.12.2016, 11:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst ja nicht jedem $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ einen Wert zuordnen. Du hast einen Vektor $\begin{eqnarray} x = (x_1, x_2, \ldots, x_r) \end{eqnarray}$ und den willst du auf etwas abbilden.
06.12.2016, 11:55	FightClub_77	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zB $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2,\cdots ,x_r) \end{eqnarray}$ eine lineare Relation ist, ist auch $\begin{eqnarray} \sum_{i\in I}x_ia_i=0 \end{eqnarray}$ . Aber ich kann hier irgenwie keine Verbindung zwischen der definierten Funktion (die ja die kanonischen Einheitsvektoren auf die a-s abbildet) und den skalaren $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ herstellen...?
06.12.2016, 11:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gebe dir mal die Abbildung: $\begin{eqnarray} f(x) = f(x_1, x_2, \ldots, x_r) = \sum_{i \in I} x_i a_i \end{eqnarray}$ . Prüfe mal nach, dass diese alle gewünschten Eigenschaften erfüllt.
06.12.2016, 12:04	FightClub_77	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die erfüllt natürlich alle Eigenschaften. Aber wieso kannst du die Funktion $\begin{eqnarray} e_i \mapsto a_i \end{eqnarray}$ überhaupt derart definieren? Diese bildet ja die Einheitsvektoren auf $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ab und nicht die Skalare? Ich glaube ich verstehe die Definition der Funktion falsch
06.12.2016, 12:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Abbildung bildet die Einheitsvektoren auf die Vektoren $\begin{eqnarray} (a_i) \end{eqnarray}$ ab. Nehmen wir mal $\begin{eqnarray} r = 2 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} f(x_1, x_2) = x_1 \cdot a_1 + x_2 \cdot a_2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_1, x_2 \end{eqnarray}$ Skalare und $\begin{eqnarray} a_1, a_2 \end{eqnarray}$ Vektoren. Nun ist $\begin{eqnarray} f( e_1) = f( (1,0) ) = 1 \cdot a_1 + 0 \cdot a_2 = a_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f( e_2 ) = f( (0,1) ) = 0 \cdot a_1 + 1 \cdot a_2 = a_2 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} e_i \mapsto a_i \end{eqnarray}$ .
06.12.2016, 12:09	FightClub_77	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach du lieber Himmel. Ich danke dir für deine Gedult mit mir! Ich versuche die Aufgabe jetzt mal fertigzustellen

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