Existenz einer injektiven Abbildung durch vollständige Induktion

05.12.2016, 12:38	HollyPolly	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz einer injektiven Abbildung durch vollständige Induktion Meine Frage: Guten Tag, folgende Frage: Gegeben sind: $\begin{eqnarray} n,k \in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ Menge $\begin{eqnarray} X_n=\{1,\dots,n\}, X=\{x_1,\dots, x_n\} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie mit vollständiger induktion über k, dass gilt: Sei n Element von N mit $\begin{eqnarray} n>k \end{eqnarray}$ , dann gibt es keine injektive Abbildung $\begin{eqnarray} f:X_n \rightarrow X_k \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich hätte nun als Induktionsvorraussetzung: "Es existiert keine injektive Abbildung $\begin{eqnarray} f:X_n \rightarrow X_k \end{eqnarray}$ " um das später für den Induktionsschritt zu verwenden. Der Induktionsbeginn gestaltet sich noch relativ leicht, doch frage ich mich wie ich im Induktionsschritt die Annahme verwenden kann. Eigentlich könnte man ja immer mit der Anzahl der Elemente in Urbild und Zielmenge argumentieren, doch dann käme die Induktion nicht zum Einsatz.
05.12.2016, 12:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Mengen nicht ordentlich aufgeschrieben. Probier's noch einmal. Und dann behaupte nicht nur, dass der Induktionsanfang leicht sei, sondern führe ihn aus. Die Induktionsvoraussetzung musst Du vollständig hinschreiben, nicht nur eine unsaubere Version, sonst wird das nichts.
05.12.2016, 13:04	HollyPolly	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Induktionsbeginn habe ich so gestaltet: Sei k=1. $\begin{eqnarray} f: X_n \rightarrow \{1\} \end{eqnarray}$ Widerspruchsbeweis: $\begin{eqnarray} f \ injektiv \Rightarrow (x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)) \end{eqnarray}$ Dies führt zu einem Widerspruch, da es keine zwei verschiedenen $\begin{eqnarray} f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray}$ gibt, da die Zielmenge nur aus einem Objekt besteht.
05.12.2016, 14:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das genügt nicht ! Nach deiner Schreibweise gilt $\begin{eqnarray} 1\in X_n, x_1\in X \end{eqnarray}$ , und Du willst über eine Abbildung nach $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ reden, ohne $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ definiert zu haben. Du versuchst einen Induktionsanfang nach k=1, das ist in Ordnung. Aber dein Versuch misslingt, weil Du nichts über n sagst. n=5, n=542379156, n=irgendwas, alle natürlichen n ?? Wo nimmst Du $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \end{eqnarray}$ her, wenn Du nichts über n weißt ?

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