Regelmäßige dreiseitige Pyramide

05.12.2016, 15:07

alexanderschmidtz

Regelmäßige dreiseitige Pyramide

Meine Frage:
Kann mir jemand helfen ? Ich verstehe nichts..
Berechne das Volumen V und den Oberflächeninhalt O einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide mit der Grundkante a, der Höhe h, der seitenkante s und der Höhe h' der seitenfläche. Benutze den Satz des Pythagoras so, dass der Fußpunkt der Pyramidenhöhe die Höhen der Grundfläche im Verhältnis 2:1 teilt.
a=15cm h=25cm

Meine Ideen:
ich würde sagen als erstes a*2 , denn dann haben wir die Grundfläche gegeben und können V= 1/3*G*h rechnen, oder?

05.12.2016, 16:40

willyengland

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RE: Regelmäßige dreiseitige Pyramide

Zitat:

ich würde sagen als erstes a*2 , denn dann haben wir die Grundfläche gegeben

Die Pyramide soll aber dreiseitig sein.

05.12.2016, 17:45

Winston Smith

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Dein Körper ist ein Tetraeder.

Die Grundfläche ist ein Gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a.
Also ist die Grundfläche? smile

Ich mal eine Skizze der Abwicklung rausgesucht. ha ist dein h'.
Daran kannst du schon einige Zusammenhänge erkennen.

http://www.lehrerhubsi.at/bilder/pyramide11.gif

Hier ein Bild zur Begriffsklärung:

http://www.mathcampus.ch/www/unterlagen/tipps/lu9plus_6/images/tipp1.gif

Der Anspruch mit dem Fußpunkt ist ... suboptimal Formuliert meiner Meinung nach....
Bild zur Begriffsklärung:

https://de.wikipedia.org/wiki/Pyramide_%28Geometrie%29#/media/File:Pyramide5.png

So, jetzt hast du was zu tun Tanzen

05.12.2016, 21:33

willyengland

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Zitat:

Original von Winston Smith
Dein Körper ist ein Tetraeder.

So, so ...

a=15cm h=25cm ?

06.12.2016, 17:33

Winston Smith

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Tetraeder:
Einwand berechtigt. Zu vorschnell gepostet.

Ein Tetraeder muss komplett aus gleichseitgien Dreiecken bestehen.
Also Grundkante = Seitenkante
Ist nicht der Fall, also falsch...
Hab wenigstens ich wieder was gelernt Big Laugh

Es ist ein allgemeiner Tetraeder? https://rechneronline.de/pi/allgemeiner-tetraeder.php

06.12.2016, 17:41

riwe

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eventuell sollte man aber auch über den Unterschied zwischen Tetraeder = 4flächner und regelmäßigem Tetraeder nachdenken Augenzwinkern

06.12.2016, 17:47

Winston Smith

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Hey Werner, hab meine edit zurückgesetzz.

Ja, meine Frage wäre jetzt:
"Meist ist mit der Bezeichung Tetraeder ein regelmäßiger Tetraeder gemeint,"
Heißt also Tetraeder ist doch erst mal allgemein richtig?
Regelmäßiger Tetraeder - alle Seiten bestehen aus gleichseitigen Dreiecken.
Allgemeiner Tetraeder - ein Körper mit 4 Dreiecken

Tetraeder allein ist also nicht zwingend eine regelmäßiger?

06.12.2016, 17:59

riwe

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lesen hilft,
das steht ja alles in dem Link oben Augenzwinkern

06.12.2016, 18:47

Winston Smith

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Ja den link hab ich später erst entdeckt und wollte hier nicht alles zuspamen.

Antwort ist: Ja smile

Tetraeder ist so richtig...

Back to topic:
Also ich hab heute gelesen, dass das Volumen jeder Pyramide(Tetraeder=Pyramide mit dreieck als grundfläche) mit V = 1/3*Grundfläche*Höhe berechnen kann. Stimmt das?

Edit (mY+): Link zum anderen Forum entfernt! Du kannst ja hier fragen.

desweiteren... ab wann ist es den ok, hier die Lösung oder zumindest meine Lösung zu posten? Hab da rumgerechnet und würde halt selber gern wissen, ob das stimmt smile

bzw in dem Fall wo der Fehler liegt. Ich hab in dem Oben verlinktem Rechner ein anderes Ergebnis beim Volumen als mit meiner eigennen Rechnung.

06.12.2016, 21:55

mYthos

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@Winston Smith
Ich muss dich nochmals auf die Regeln unseres Boards hier hinweisen.
Links zu anderen Foren bzw. Crosspostings sind nicht erwünscht, desgleichen wäre es gut, würdest du dir deine Antworten vor dem Posten noch etwas besser überlegen.
Lieber spätere Hilfe als eine vorschnelle irreführende Aussage!
----------------
Mir ist nicht ganz klar, weshalb du nach der einfachen, allseits bekannten Volumenformel des Tetraeders/der Pyramide fragst, wo du auf der anderen Seite so gut im Auffinden entsprechender Info-Links bist.
Die findest du sicher 1000 Mal ..

$\begin{eqnarray*} V = \frac {G \cdot h} 3 \end{eqnarray*}$

Unter Tetraeder versteht man in der Schulmathematik meist den regelmäßigen Vierflächner.
Ist er unregelmäßig, sagt man dies zur Vermeidung von Missverständnissen extra dazu, besser ist dann die Bezeichnung (unregelmäßige) dreiseitige Pyramide.
Ist deren Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck und haben die Seitenkanten eine andere Länge, so spricht man von einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide, eine solche ist die in der Aufgabe.
(So ähnlich wäre es dann auch z.B. bei einer quadratischen Pyramide).

Wenn du deiner Rechnung nicht sicher bist, steht es dir frei, diese in Grundzügen hier zu hinterfragen bzw. verifizieren zu lassen.
Du musst aber ehrlich sein und nicht auf diese Weise versuchen, eine Komplettlösung unterzubringen. Wir merken das allerdings recht schnell.
Alexander scheint ohnehin kein Interesse mehr zu haben, zumindest hat er sich bis jetzt nicht gemeldet.

mY+

07.12.2016, 17:27

Winston Smith

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Topic:

Also das mit dem Volumen haben wir ja nun durchgekaut.
Ich habe halt ein anderes Ergebnis, wenn ich die Seitenkante ausrechne und diese Werte in den besagten Online-rechner eingebe. https://rechneronline.de/pi/allgemeiner-tetraeder.php

Ohne jetzt ein allgemein Formel zu bemühen,
Die Oberfläche ist:
Fläche des gleichseitigen Dreiecks (Basis) + 3 mal die Fläche der gleichschenkligen Dreiecke (Seitenflächen)

Die Fläche einer Seitefläche ist: $\begin{eqnarray*} A=\frac{a*h'}{2} \end{eqnarray*}$

Hier meine systematik, wie ich auf die einzelnen Werte komme:
[attach]43218[/attach]
[attach]43221[/attach]
[attach]43222[/attach]

Anmerkungen:
Zitat:"Benutze den Satz des Pythagoras so, dass der Fußpunkt der Pyramidenhöhe die Höhen der Grundfläche im Verhältnis 2:1 teilt."
Muss das icht heißen: Benutze den Satz des Pythagoras so, das der Abstand vom Fußpunkt zur Strecke (Seite des Dreiecks), die hälfte des Abstandes vom Fußpunkt zum gegenüberliegendem Eckpunkt ist. (oder so)
Ich finde die Formulierung grauenhaft. In einer Klausur hätte ich viel zeit damit verschwendet, das zu interpretieren.

Zitat my+: "Unter Tetraeder versteht man in der Schulmathematik meist den regelmäßigen Vierflächner.
Ist er unregelmäßig, sagt man dies zur Vermeidung von Missverständnissen extra dazu, besser ist dann die Bezeichnung (unregelmäßige) dreiseitige Pyramide. "
DANKE ! das ist eine Aussage, mit der ich was anfangen kann. Je mehr ich über den Tetraeder gelesen habe (im internet-überall) desto wiedersprüchlicher wurde die Begriffsdefintion. es ist beileibe nicht so eindeutig wie der Unterschied von Quadrat zu Rechteck.

07.12.2016, 17:53

Winston Smith

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sry.. wegen double post, aber die "Lösung" hinsichtlich der Anwendung des Pythagoras ist mir eben erst ins Hirn geflatert.

Ich habs zuerst mit Sin() gelößt, weil mir der Zusammenhang nich ganz klar war.

In einem Gleichseitigen Dreieck gilt das geforderte Verhältnis sowieso immer.
Nochmal das Bild:[attach]43218[/attach]

$\begin{eqnarray*} c^2=b^2+(\frac{a}{2})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\frac{c}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=15cm \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} c^2=(\frac{c}{2})^2+(\frac{15cm}{2})^2 \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, das ist der gesuchte Lösungsweg und ich hoffe, das dies hier nicht unter die klassifizierung von Komplettlösung fällt Augenzwinkern

07.12.2016, 18:26

mYthos

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Du rechnest sehr viel und das mag ja auch richtig sein, auch die Bilder (GeoGebra) sind ganz nett ..
Versuche aber, auf möglichst kurzem und einfachen Weg zum Ziel zu gelangen.

Die Höhe im gleichseitigen Dreieck (Seitenlänge a) lautet $\begin{eqnarray*} h = \frac a 2 \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ , das steht in jedem Tafelwerk (und das kannst du natürlich auch selbst herleiten).
Dein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist wegen des Teilverhältnisses 2 : 1 ein Drittel davon, also $\begin{eqnarray*} \frac a 6 \sqrt 3 \end{eqnarray*}$
Somit gilt für die Seitenhöhe $\begin{eqnarray*} h' = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{12}} \end{eqnarray*}$ , h .. Körperhöhe.
Und gut ist es!

mY+

08.12.2016, 18:07

Winston Smith

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Erstmal danke für die Antwort smile

Dein Rechenweg ist durchaus Elegant und möglichst kurz, was Oberfläche und Volumen angeht. smile

Nur die Seitenkante bleibt unbekannt. (Klar, ist in der Aufgabe nicht gefordert, aber irgendwie rechne ich immer möglichst alle Größen aus. In der Praxis eine gute Angewohnheit. In Prüfungen... eher hinderlich)

Ein Blick in meine Formelsammlung fördert natürlich alle Zusammenhänge zu Tage. Aber dann wäre dieser eine Satz völlig überlfüssig, da ich Höhe, Fläche, Innkreisradius(b) und Aussenkreisradius(c) bereits als Formel vorliegen habe. Da ist der Zusammenhang von c/2=b schon festgestellt und muss nicht extra einbezogen werden. (geht ja auch gar nicht anders in dem Dreieck, das ist es wohl, was mich an der Formulierung so stört. Könnte man ja drauf kommen, das es auch anders ginge.)

Das einzige was ich dann noch hätte mach müssen ist h' anhand von b und h auszurechnen.

Ich habe es sportlich genommen und alles anhand des Pythagoras hergeleitet, was ich zum Glück noch ohne Formelsammlung kann Augenzwinkern

08.12.2016, 19:41

mYthos

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Wie ich schon sagte, du kannst das auch selbst herleiten, es beruht ja alles auf dem Pythagoras.
Formelsammlung ist nicht nötig. Auch für $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ nicht, denn

$\begin{eqnarray*} s^2 = (\frac 2 3 h_a)^2 + h^2 \text{ oder auch }s^2 = h'^2 + (\frac a 2)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \ s = \sqrt{h^2 + \frac{a^2} 3} \end{eqnarray*}$ ; h .. Körperhöhe

mY+

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