Häufungspunkt einer Folge |
06.12.2016, 10:06 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Häufungspunkt einer Folge Hallo alle zusammen ich habe diese Aufgabe(siehe Bild). Meine Ideen: Also meine Idee wäre das ich mir die ersten Folgenglieder mir anschaue und danach den Grenzwert der geraden und ungeraden Indizes ausrechne und falls diese existieren dann existiert der Häufungspunkt. Ist dieser Ansatz richtig ? |
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06.12.2016, 11:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge
Das kann helfen, um auf eine Idee zu kommen, es geht aber auch ohne.
Es gibt keinen Automatismus, daß die Betrachtung der geraden und ungeraden Indizes zum Ziel führt. Besser wäre es, die komplexen Zahlen in die Exponentialschreibweise zu überführen. |
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06.12.2016, 11:54 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Also die Exponentialform der Folge an wäre doch diese : also ist re(an)= 1/2 und im(an)=(1+i) und das ist gleich : stimmt das ? |
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06.12.2016, 12:07 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge nein sorry ich habe nur mist gemacht Ich muss ja für die Exponentialform den Betrag von z ausrechnen und das Argument von z. |
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06.12.2016, 12:20 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Aber eine frage was bringt mir das wenn ich diese Komplexe zahl in die eulersche Form bringe ? Was hat das mit dem Häufungspunkt zu tun ? Ein Häufungspunkt ist doch wenn eine teilfolge gegen eine Zahl Konvegiert oder anders gesagt ein Häufungspunkt ist eine Zahl wo unendlich viele Zahlen in der Umgebung sind. |
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06.12.2016, 12:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Das wirst du sehen, wenn du mal in die korrekte Exponentialform bringst. |
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06.12.2016, 13:57 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Um das zu machen muss ich doch den realen teil und den imaginären teill berechnen oder ? Oder ist der schon gegeben? Also ist Re(z) =1/2 und im(z)= 1 ? Wenn ja würde ich daraus das Argument und den betrag ausrechnen stimmts? |
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06.12.2016, 14:16 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge
Nun ja, der Faktor 1/2 bezieht sich auch auf den Imaginärteil. |
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06.12.2016, 15:22 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Achso du meinst i/2 also ist der im(z) = 1/2 Also ist der Betrag von z |z| = sqrt ( (1/2)^2+(1/2)^2) 1/sqrt(2) Das Argument wäre : Arg(z) = arctan(1)= 1/4 pi Also ergibt sich die exponential form als 1/2 e ^( i* 1/4 pi ) Ok und nun? |
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07.12.2016, 08:18 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge
Nun ja, korrekt ist .
Jetzt schaust du mal, was ist, und überlegst dir, wie sich das verhält. |
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07.12.2016, 09:41 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Naja wir haben ja nun die Exponentialform und diese muss ja nochmal hoch n genommen werden. Also heißt das doch das wir immer den Realteil und Imaginärteil hoch n bekommen |
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07.12.2016, 09:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Weswegen haben wir denn das in umgeformt? Letzteres ist ein Produkt und das sollte sich mit n leichter potenzieren lassen. |
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07.12.2016, 09:48 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge ja das stimmt. Ist also meine vermutung richtig ? Ist also der Reale und der Imaginäre teil hoch n ein Häufungspunkt ? |
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07.12.2016, 10:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Du bist irgendwie zu hastig. Rechne doch erst mal hoch n. Was steht dann da? Welchen Betrag hat diese komplexe Zahl? |
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07.12.2016, 10:16 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Da steht das hier also (1/2)^n und i*(1/2)^n oder ? |
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07.12.2016, 10:28 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge
Woraus du das abliest, bleibt dein Geheimnis Außerdem windest du dich ganz schön drumherum. So wird ein Schuh draus: Welchen Betrag hat nun diese komplexe Zahl? |
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07.12.2016, 11:01 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Mhh ok Naja für den Betrag einer Komplexen Zahl setzen wir Bestimmt ist irgendwas falsch heute ist nicht mein tag |
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07.12.2016, 11:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Es ist offensichtlich, daß du den Sinn und Zweck der Exponentialschreibweise der komplexen Zahlen nicht verstanden hast. Die Schreibweise impliziert doch gerade, daß der Betrag von z der Faktor vor der e-Funktion ist. Obendrein solltest du wissen, daß |a * b| = |a| * |b| ist. Das gilt auch für komplexe Zahlen. Und zum guten Schluß ist immer . |
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07.12.2016, 11:38 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Ich wusste das der Betrag der Kompexen Zahl gleich 1/sqrt(2) das habe ich ja auch ausgerechnet oben. Nur was hat das alles mit dem Häufungspunkt zu tun ? Ich blick da nicht durch. Oben habe ich dir gesagt wie man auf die Exponentialschreibweise kommt dazu habe ich gesagt das man den Betrag der Komplexen Zahl Braucht und das Argument beides habe ich ausgerechnet und danach fragst du mich wieder was der Betrag der Komplexen Zahl ist das kann nur zur verwirrung führen Nun gut der Betrag der Komplexen Zahl ist das hier
was sagt mir das nun über die Häufungspunkte ? |
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07.12.2016, 11:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge OK, vielleicht war das alles etwas verwirrend. Ich fang nochmal von vorne an und lasse mal die e-Funktion weg. Also wir betrachten . Der Betrag ist . Jetzt untersuchen wir z^n und wollen davon den Betrag ausrechnen. Es gilt |z^n| = |z|^n . Mithin ist also . Und jetzt überlege dir, wohin dieser Wert läuft. |
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07.12.2016, 12:00 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Dieser Wert nähert sich mit zuwachsendem n immer mehr der 0 |
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07.12.2016, 12:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge OK. Und wenn |z|^n gegen Null konvergiert, wohin konvergiert dann z^n ? |
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07.12.2016, 12:52 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Naja auch gegen null |
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07.12.2016, 12:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Korrekt. Also ist eine gegen Null konvergente Folge. Was kannst du nun zu den Häufungspunkten sagen? |
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07.12.2016, 13:11 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Konvergente Folgen besitzen genau einen Häufungspunkt und das ist der Grenzwert. Also ist der Häufungspunkt der Komplexen Folge 0. Einige fragen: Wenn eine Komplexe Folge gegeben ist zn = xn +i yn dann Konvergiert ja diese genau dann wenn die Folge xn gegen Re(z) Konvegiert und die Folge yn gegen Im(z) Konvergiert. Kann man das hier nutzen ? und woher weiß man denn das ohne Betrag die Folge gegen 0 Konvegiert ? Es gilt ja wenn eine Folge an Konvergiert gegen a dann Konvergiert |an| mit Grenzwert |a| aber die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Also weshalb kann man dies sagen ? Was ist nun mit dem Ansatz von der Exponentialschreibweise passiert ? Wird die nicht genutzt? Also das verwirrt mich alles sehr |
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07.12.2016, 13:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge
Ja, wenn du mir aus dem Ärmel geschüttelt sagen kannst, wogegen x_n bzw. y_n konvergieren.
Das sollte ein Satz sein, der in deinen Unterlagen steht. Im Zweifelsfall: Aus folgt sofort Damit wird die Grenzwertdefinition auch von z^n erfüllt.
Für diese Folge kann man auch darauf verzichten. Aber bei der nächsten Folge kommst du nicht drumherum. |
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07.12.2016, 14:12 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Ich will auch nicht drumherum kommen würde gerne sehen wie es damit geht die Exponentialform der Komplexen Folge wäre diese : so und nun ? was sagt mir über Häufungspunkte aus ? |
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07.12.2016, 14:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Was das Argument von angeht, hast du leider daneben gegriffen. Außerdem fehlt die komplexe Zahl i. Richtig ist daher: Das ganze noch mit n potenziert führt zu . Wie man leicht sieht, ist davon der Betrag immer 1. Alle komplexe Zahlen dieser Folge befinden sich also auf dem Rand des Einheitskreises. Jetzt müssen wir noch schauen, was mit dem Argument, also mit dem Winkel passiert. Ich denke, da solltest du dir was überlegen. |
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07.12.2016, 14:45 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Jedes vielfache vom Winkel ist Grenzwert der Teilfolge kann das sein ? |
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07.12.2016, 14:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Na ja, da sollest du mal genauer ausdrücken, was du da meinst. Zum Beispiel, von welcher Teilfolge du da redest. Ich würde mal die Teilfolge mit n = 6k betrachten. |
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07.12.2016, 15:09 | Mathe<3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Da würde 1 rauskommen. Mhh Ich weiß nicht so genau |
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07.12.2016, 15:25 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Häufungspunkt einer Folge Das ist korrekt. Nur leider verdrehst du mir die Darstellung der komplexen Zahl. Ich würde bevorzugen. Da bezüglich des Winkels phi 2pi-periodisch ist, ist für alle ganzzahligen k gleich. Insbesondere erhältst du den Wert, indem du k=0 einsetzt, was dann den Wert 1 ergibt. Damit hast du einen möglichen Häufungspunkt. Aber es gibt noch mehr. Wie wäre es mit der Teilfolge n = 6k+1 ? |
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