Vektorraum der Polynome

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07.12.2016, 16:54	HUk44	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum der Polynome Meine Frage: Hallo! Ich komme mit einer Aufgabe gerade gar nicht zu recht: Im reelen Vektorraum V=R[x] betrachten wir die beiden Unterräume G={P $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R[x]; P(x)=P(-x)} und U ={P $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R[x]; P(x)=-P(x)} Zeigen Sie: (a) Für jedes Polynom f $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R[x] gilt f(x)+f(-x) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G und f(x)-f(-x) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ U (b) Jedes Polynom f $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R[x] besitzt eine Darstellung f=g+u mit Polynomen g $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G und u $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ U. (c)R[x]=G $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ U (verknüpft) Können Sie je eine Basis für die Unterräume G und U angeben? Meine Ideen: Ich verstehe das f in diesem Zusammenhang schon nicht. f meint ja meistens eine Abbildung, aber von wo nach wo wird hier abgebildet? Was ist zu tun Bin langsam am verzweifeln. Grüße
07.12.2016, 18:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ meint nicht eine Abbildung, denn im Aufgabentext steht klar und deutlich, dass $\begin{eqnarray} f\in\mathbb R[x] \end{eqnarray}$ ein reelles Polynom ist. Das heißt $\begin{eqnarray} f=\sum_{k=0}^na_kx^k, a_k\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Polynome sind Polynome, man identifiziert sie mit ihrem Koeffizientenvektor, d.h. hier $\begin{eqnarray} f=(a_0,...,a_n)\in\mathbb R^n \end{eqnarray}$ . (Jeder n-dimensionale $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorraum ist zum Standardvektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ isomorph). Nun kannst Du erst einmal überlegen, was es für die Koeffizienten bedeutet, dass ein Polynom gerade (aus G) oder ungerade (aus U) ist.
07.12.2016, 19:04	HUk44	Auf diesen Beitrag antworten »
Für G gibt es nur die gerade Koeffizienzen, da alle anderen mit 0 multipliziert werden, analog bei U. Ich habe tatsächlich vorher gar nicht gesehen, dass G nur gerade Polynome hat und U ungerade. Danke schonmal dafür. Aber weiter weiß ich leider nicht
07.12.2016, 19:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) extrem simpel, mach was in der Aufgabe steht: addiere f(x)+f(-x) und subtrahiere f(x)-f(-x) . Was machen die Koeffizienten ? Na also. b) denke eine halbe Minute darüber nach, wenn du dann die Lösung noch nicht hast, verrate ich sie dir - es wird beschämend für dich sein c) sowieso klar, wenn man verstanden hat, was gerade und was ungerade Polynome sind
07.12.2016, 19:22	HUk44	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt schäme ich mich gerade schon Vorallem weil ich gerade (a) nichtmal hinkriege, die anderen Aufgaben des Übungsblattes aber schon gelöst habe. Wenn ich f(x)+f(-x) addiere komme ich z.b. immer auf 0. Über b) denke ich dann nochmal ein bisschen nach. grüße
07.12.2016, 19:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Nein. $\begin{eqnarray} f(x)+f(-x)=(a_0,a_1,...,a_n)+(a_0,-a_1,...)=(2a_0,0,2a_2,0,...)\in G \end{eqnarray}$ subtrahieren geht analog. Die halbe Minute ist um ! Polynome sind Vektoren , deshalb ist alles so einfach zu berechnen, einfach nur ein paar Zahlen manipulieren. (Sagt ich so einfach, wenn man's kann. )
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07.12.2016, 19:34	HUk44	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaja! Habs ja quasi schon. Es werden alle ungeraden Koeffizienten und alle gerade Koeffizienten addiert ->f Die Rechnung von a) kann ich allerdings nicht nachvollziehen. Wie kommt man darauf, dass alle gerade Koeffizienten*2 sind. bzw. warum ist f(-x) nicht (-a_0,-a_1,-a_2,...)
07.12.2016, 19:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
b) JA . Ausführlich als Vektorsumme hinschreiben, dann ist das gut. zu a) $\begin{eqnarray} f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+..., f(-x)=a_0-a_1x+a_2x^2-a_3x^3+... \end{eqnarray}$ weil $\begin{eqnarray} (-x)^{2k}=x^{2k},(-x)^{2k+1}=-x\cdot x^{2k} \end{eqnarray}$ was Du geschrieben hast ist $\begin{eqnarray} f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+..., -f(x)=-a_0-a_1x-a_2x^2-a_3x^3-... \end{eqnarray}$ (auch das sieht man sofort an den Koeffizienten, die müssen in der Summe $\begin{eqnarray} f(x)-f(x)=0 \end{eqnarray}$ alle 0 werden). ... und action ... 20:00 ist Feierabend. c) Hinweis: es gibt genau ein Polynom, bei dem alle geraden Koeffizienten 0 sind (gerade in G) und alle ungeraden Koeffizienten 0 sind (ungerade in U)
07.12.2016, 19:59	HUk44	Auf diesen Beitrag antworten »
Da geht einem doch so das ein oder andere Licht auf... Tut mir ja schon leid... Dann noch schnell die letzten Fragen! zu c) Wie soll ich mit die Verknüpfung zweier Vektorräume vorstellen? Ich wünsche dir aufjedenfall nen schönen Feierabend und herzlichen Dank!
07.12.2016, 21:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb R^2=\mathbb R\oplus\mathbb R \end{eqnarray}$ ist die direkte Summe der x-Achse und der y-Achse: (x,y)=(x,0)+(y,0) und nur (0,0) liegt in beiden Untervektorraeumen. Genauso hier: Polynome=U+G (siehe b)), und nur das Nullpolynom in beiden.
07.12.2016, 22:06	HUk44	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf c) habe ich jetzt auch alles soweit fertig. Aber man soll ja zeigen, dass R[x]=GoU ist. Aber ist das mit der Verknüpfung + nicht genau das gleich was ich schon in Aufgabe b gezeigt habe?! Grüße
08.12.2016, 08:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das habe ich doch gesagt. $\begin{eqnarray} G+U=\mathbb R[x] \end{eqnarray}$ wegen b) Und diese Summe ist direkt, weil offenbar nur das Nullpolynom gleichzeitig gerade und ungerade ist. Wenn eine Summe direkt ist, macht man einen Kringel um das + Zeichen $\begin{eqnarray} G\oplus U=\mathbb R[x] \end{eqnarray}$

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