Erwartungswert

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Tobias95 Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert
Meine Frage:
Ich habe eine faire Münze und ein Kapital von 1?

Das Kapital halbiert sich, wenn Zahl fällt und bei Kopf gewinn ich 4/5 meines Kapitalstands hinzu.

Die Frage lautet:
Zeigen Sie, dass bei oftmaliger Wiederholung dieses Spiels Ihr Kapitalstand gegen Null geht.

Meine Ideen:
Ich hab mir den Erwartungswert für mein Kapital ausgerechnet:

E= ( 0,5 x 9/5 + 0,5 x 1/2 ) ^n = 1,15^n

-> demnach würde der Spieler gewinnen und das Kapital ständig ansteigen

wo ist mein Fehler?

Vielen Dank
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Im Produkt 0.5 * 1.8 sind bereits beide gleichwahrscheinliche Faktoren enthalten (zu addieren ist nicht mehr).
Somit ergibt sich , das ist ein Weg ins Disaster.

mY+
Tobias95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Im Produkt 0.5 * 1.8 sind bereits beide gleichwahrscheinliche Faktoren enthalten (zu addieren ist nicht mehr).
Somit ergibt sich , das ist ein Weg ins Disaster.

mY+


das würde stimmen wenn bei Zahl alles weg wär, ist es aber nicht

Ich denke es hängt mit dem Gesetz der großen Zahlen zusammen



wie wende ich das Gesetz der großen Zahlen aber jetzt richtig an?

THX
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne zwar das Gesetz der großen Zahlen, aber deren Theorie nicht gut genug.
Ich habe also deine Frage eher intuitiv beantwortet.
---------------
Mag vielleicht ein Stochastik-Spezialist darüber sehen?

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Tobias95

Das ist kein Widerspruch: Es kann durchaus der Erwartungswert des Vermögens gegen unendlich gehen, es aber trotzdem in Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergieren - etwas ganz ähnliches haben wir vor kurzem hier besprochen:

https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=573785
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert
Ich habe das Ganze mal durchgerechnet: Die Wahrscheinlichkeit bei n Spielen genau k mal zu gewinnen beträgt:



Wenn ich nach n Spielen k mal gewonnen habe, habe ich ein Kapital von:



Das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit k mal zu gewinnen und meinem zurückgewonnen Kapital definiere ich jetzt mal als Gewinnerwartung.



Ich weiß nicht, ob Wirtschaftsmathematiker die selbe Terminologie verwenden, aber als Physiker muß ich mir die Begriffe ausdenken, die ich brauche.
Meine gesamte Gewinnerwartung summiert dann alles auf.



Ich habe mit Matlab tolle Beispiele gerechnet für n=6, n=60 und n=600 und dabei die Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Vergleich neben die Gewinnerwartung in jeweils einem Diagram dargestellt.

Die drei Diagramme hätte ich hier gerne als jpg eingefügt. Jedoch kann ich mit dem "Bild einfügen"-Button nichts anfangen, weil ich dort keinen Filedialog bekomme. Ich bekomme stattdessen ein Eingabefenster in dem "http://" steht. Was soll ich damit anfangen? Das "[User-Tutorial] Bilder einfügen" liefert mir da keine Antwort. Hängt es vielleicht damit zusammen, daß ich einen Mac benutzte?

Zurück zum Thema:
Es zeigt sich, daß die meisten Menschen, die das Spiel n mal spielen, dabei erleben müssen, daß sie weniger als ihr Anfangskapital zurückerhalten. Einigen wenigen jedoch, gelingt es, gut abzusahnen. Wenn man alle diesem Menschen zusammen nimmt, kommt man zum Schluß, daß sie im Schnitt mehr erhalten haben, als eingesetzt, nämlich .

Nachdem ich dieses Beispiel gesehen habe, wird mir klar, was Finanzanalysten die ganze Zeit tun müssen. Sie müssen das Risiko streuen, damit der Profit nicht nur hoch, sondern vor allen Dingen auch sicher ist.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist ein seltsames Ergebnis, dass man erstmal verdauen muss. Ist der begrenzte Zeithorizont des Spiels, und die Anzahl der Spieler, so ergeben sich für die Bank folgende Konsequenzen:

- Bei konstantem und verliert die Bank (GGZ sorgt dafür, dass dann der hohe Erwartungswert zum Tragen kommt).

- Bei konstantem und gewinnt die Bank, weil alle Spieler pleite gehen (in dem Sinne, dass ihr Kapital mit Sicherheit gegen 0 geht).
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Was HAL 9000 sagt, ist richtig. Aber ich würde keinem Milliardär oder keiner Bank empfehlen dieses Spiel mit den Kunden zu spielen.
Also wenn wir mal setzen. Und etwa eine Million Menschen kommen zur Bank und wollen das Spiel spielen mit jeweils einem Euro Einsatz. Dann wird die Bank etwa einen Verlust von 15,3 Millionen Euro machen. Es wird nur wenige Gewinner geben, die dann insgesamt 15,3 Millionen Euro reicher sind.




mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Anhängen der Grafik:
Diese darf nicht größer als 293 KB sein.

In deinem Beitrag klicke (noch vor dem Absenden) auf "Dateianhänge", gehe auf "Datei auswählen" und danach auf "..speichern".
Den dabei erzeugten Link kannst du kopieren und dann an jeder Stelle in deinen Text einfügen.
Machst du dies nicht, wird die Grafik an das Ende des Beitrages angehängt.

mY+
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank an Mythos! Jetzt probiere ich es mal aus. Fangen wir mit n = 6 an!

[attach]43303[/attach]
Man erkennt in blau meine Gewinnerwartung so wie ich sie vorher definiert hatte.
Zum Vergleich habe ich die binomialverteilten Wahrscheinlichkeiten hochskaliert und rot eingeblendet. Die y-Skala bezieht sich nur auf die Gewinnerwartung.

Für n = 20 (Mein Beispiel mit den Banken oder Milliardären)
[attach]43304[/attach]
Wer von Münzwürfen mal Glück hatte, landet auf dem längsten roten Balken in der Mitte der Grafik und bekommt nur das 0,3487 -fache seines Einsatzes zurück und hat damit Pech gehabt. Der blaue Fläche gibt an, an welche Sorte Glückspilze die Banken das meiste Geld auszahlen müssen. - Gewinner sahnen zusammen gerechnet das meiste Geld ab, obwohl man bei noch das meiste Geld gewinnt.

Jetzt nur noch der Form halber für n=60:
[attach]43305[/attach]
Und dann noch für n=600:
[attach]43306[/attach]
Schwarz ist unsere Binomialverteilung für die Anzahl glücklicher Münzwürfe k, die immer weiter zusammen schnullert und zur Gaußverteilung wird. Auch die Gewinnerwartung ist für große n nahezu gaußverteilt (blaue Fläche).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was dein letztes Beispiel betrifft, da wäre eine logarithmische Skale der Gewinnerwartung aufschlussreicher, gerade was den Bereich betrifft, also die Mitte der Binomialverteilung. Damit man auch sieht, dass diese Leute nicht im entferntesten ihren Einsatz 1 rauskriegen - bei der linearen Skale kann man das nicht sonderlich gut erkennen. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@Ulrich: sag mal, kennst du das
www.Physikerboard.de ?
wie läuft's denn da verwirrt
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Hier eine semilogaritmische Darstellung für n=600.
Grüße an HAL 9000!

[attach]43308[/attach]
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
@Ulrich: sag mal, kennst du das
www.Physikerboard.de ?
wie läuft's denn da verwirrt


Also erst mal ganz langsam! Ich sammle hier Erfahrung und dann schaue ich mich weiter um. Ich hoffe, das sollte nur ein Tipp sein und du willst mich nicht loswerden. Engel
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ich ging gemäß deiner Selbstbeschreibung eigentlich davon aus, dass du dort tätig bist.
Augenzwinkern

Aber kann ja noch werden...
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