Zweidimensionale Zufallsvariable

07.12.2016, 22:31

cmplx96

Zweidimensionale Zufallsvariable

Hallo zusammen,

die Aufgabe lautet:
$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ seien die zufälligen Wartezeiten von zwei Kunden A und B, die an unterschiedlichen Kassen stehen. Wir nehmen an, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig und jeweils exponentialverteilt mit Parameter 1 sind;
die Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist also
$\begin{eqnarray*} f(x) = exp(-x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Wartezeit von Kunde A größer als 2?
b) Geben Sie die gemeinsame Dichte X und Y , also die Wahrscheinlichkeitsdichte des
Vektor (X, Y ), an.

Meine Ideen:
Ich bin mir nicht sicher, ob es sich bei der gegeben Funktion um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder die Verteilungsfunktion handelt.

Für den Fall, dass es sich um die Verteilungsfunktion handelt:
a) $\begin{eqnarray*} P(X>2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - f(2) = 1 - e^{-2} \cong 0.86 \end{eqnarray*}$

b) Hier müsste man die Funktion irgendwie ableiten.

Für den Fall, dass es sich um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion handelt:
a) Auch hier bin ich etwas verwirrt. Bisher hatten wir immer eine Dichtefunktion für beide Variablen gegeben. Da hier eine Funktion für jede einzelnde Variable vorliegt, weiß ich nicht genau, wie ich vorgehen soll.

Danke im Voraus! smile

08.12.2016, 08:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von cmplx96
Ich bin mir nicht sicher, ob es sich bei der gegeben Funktion um die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder die Verteilungsfunktion handelt.

Dann könnte man ja vielleicht mal nachschauen und/oder die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion (z.B. monoton wachsend, Grenzwert 1 für Argument gegen unendlich) überprüfen?

08.12.2016, 20:33

cmplx96

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Danke für die Antwort!

Die Funktion ist weder monoton steigend, außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } e^{-x} \neq 1 \end{eqnarray*}$ .
Es liegt also keine Verteilungsfunktion vor.
Wie integriere ich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, um die Verteilungsfunktion zu bekommen, wenn die gegebene Funktion nur von einer Variablen anhängt?

08.12.2016, 22:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von cmplx96
Wie integriere ich die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, um die Verteilungsfunktion zu bekommen, wenn die gegebene Funktion nur von einer Variablen anhängt?

Die Verteilungsfunktion $\begin{align*} F_X \end{align*}$ einer stetig verteilten Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ geht aus ihrer Dichte $\begin{align*} f_X \end{align*}$ via

$\begin{align*} F_X(x) = \int\limits_{-\infty}^x f_X(t) ~ \dd t \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$

hervor. Speziell bei einer Exponentialverteilung (wie hier) muss man das zudem nicht jedesmal von neuem so durchrechnen, da gibt es auch fertige Formeln für die Verteilungsfunktion. Augenzwinkern

Und noch ein Hinweis zu Teilaufgabe b):

Ist $\begin{align*} X \end{align*}$ stetig verteilt mit Dichte $\begin{align*} f_X \end{align*}$ , und $\begin{align*} Y \end{align*}$ stetig verteilt mit Dichte $\begin{align*} f_Y \end{align*}$ , und sind zudem $\begin{align*} X,Y \end{align*}$ unabhängig, so ist der Vektor $\begin{align*} (X,Y) \end{align*}$ zweidimensional stetig verteilt mit Dichte

$\begin{align*} f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)\cdot f_Y(y) \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x,y \end{align*}$ .

08.12.2016, 23:07

cmplx96

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Für die Verteilungsfunktion von x habe ich dann:
$\begin{eqnarray*} F_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1-e^{-x} & x > 0 \\<br /> 0 & x \leq 0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Damit ist a):
$\begin{eqnarray*} P(X > 2) = 1-P(X \leq 1)=1-F_{X}(2)=1-(1-e^{-2})=e^{-2} \cong 0.135 \end{eqnarray*}$

zu b):
die gemeinsame Dichtefunktion von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist demnach
$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x;y)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-x-y} & x,y > 0 \\<br /> 0 & x,y \leq 0\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Ist das so in Ordnung? smile

09.12.2016, 09:27

HAL 9000

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Fast - das Gegenteil von " $\begin{align*} x,y>0 \end{align*}$ " ist aber nicht " $\begin{align*} x,y\leq 0 \end{align*}$ ":

Das Komma , steht hier für "und", womit das Gegenteil von " $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ und $\begin{align*} y>0 \end{align*}$ " dann aber " $\begin{align*} x\leq 0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} y\leq 0 \end{align*}$ " ist, symbolisch " $\begin{align*} x\leq 0\,\vee\, y\leq 0 \end{align*}$ ".

Bzw. man macht es sich gleich einfacher und schreibt in die Fallbeschreibung "sonst". Augenzwinkern

09.12.2016, 12:15

cmplx96

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Alles klar, danke für die Hilfe!

09.12.2016, 21:20

cmplx96

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Wie ist es jetzt, wenn man die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen will, dass die längere der beiden Wartezeiten größer als 2 ist?

Muss ich dafür die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ gesondert betrachten?

10.12.2016, 09:22

HAL 9000

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Die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist

$\begin{align*} P(\max\{X,Y\}>2) = 1-P(\max\{X,Y\}\leq 2) \stackrel{!}{=} 1-P(X\leq 2,Y\leq 2) \end{align*}$ .

Und letzteres lässt sich wegen der vorhandenen Unabhängigkeiten ja weiter zerlegen.

10.12.2016, 11:58

cmplx96

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Danke

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