Kombination mit Wiederholung

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philipp-schwarz89 Auf diesen Beitrag antworten »
Kombination mit Wiederholung
Meine Frage:
Hallo,

ich beschäftige mich gerade wieder mit Kombinatorik und darin mit der Kombination mit Wiederholung (ohne Anordnung).
Ich habe (für mich selbst) die Formulierung gewählt, es gäbe für diese Form der Kombination zwei Szenarien. Zum Einen das Modell der Ziehung von Kugeln aus einer Urne (Wahl von Eissorten, z.B.) und die Verteilung von Gegenständen in Gruppen (Raucher, die in Entwöhnungskursen sitzen, bspw.)
Die Rechnung (die Formel) kann ich anwenden, ist ja kein Problem. Ich würde nur wissen wollen, wie man die Formel, insbes. den Bestandteil (im Zähler) so erklären kann, dass sie insb. auf das Urnenexperiment passt.

Mit anderen Worten: Wie kann ich erklären, in Bezug auf das "Urnenexperiment", aus fünf Eissorten drei Kugeln mit Wiederholung auszuwählen?


Meine Ideen:
In Erklärungsvideos wird die Kombination ohne Wiederholung ja immer mit einem Baumdiadramm erklärt. Ich kann dies bei der Kombination mit Wiederholung nicht nachvollziehen, obwohl ich das nach einigem Nachdenken versucht habe.
Durch die Möglichkeit des Zurücklegens erklärt sich für mich nicht die Notwendigkeit der Fakultät, das heißt, wenn man 5 Eissorten hat, hat man nach der Wahl ("der ersten Ziehung") der ersten Eissorte immer noch 5 Möglichkeiten, die nächste Eissorte zu wählen und nicht nur 4 wie bei der Kombination ohne Zurücklegen.
Noch weniger kann ich mir erklären woher bei der Ziehung von 3-elementigen Teilmengen aus 5 Elementen die Faktoren 6 und 7 herkommen (da es heißt: , also . Ich kann zwar beim Abzählen der Möglichkeiten auf das Ergebnis kommen, aber der Denkfehler führt mich stets zu der Formel für die Variation mit Wiederholung.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombination mit Wiederholung
Diese Formel ist immerhin so unintuitiv, dass sie auch im Abiturstoff nicht mehr generell behandelt wird.
Es gibt hier zwei wesentliche Herleitungen - eine formal-mathematische und eine gut verständliche. Big Laugh

Da auch letztere ausführlicher einige Schreibarbeit erfordern würde, möchte ich nur grob andeuten, worum es geht.
Annahme, wir haben n=3 unterscheidbare Merkmale (A, B, C) und ziehen aus diesen mit Wiederholung k=5 mal. Da wir ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ziehen, gelten z. B. die Ziehungen ABCBC, CABCB, BBCAC (und alle anderen Ziehungen mit 1 A, 2 B und 2 C) als gleich und werden durch 1 geordnete Ziehung ABBCC repräsentiert. Wenn wir nun zugleich 3 Urnen haben, in die wir nach jeder Ziehung die gezogenen Merkmale legen, erhalten wir im Beispiel jeweils dieselbe Urnenbefüllung.

Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse läßt sich somit auf die Frage zurückführen, wieviele Möglichkeiten es gibt, k ununterscheidbare Kugeln auf n Urnen zu verteilen.
Dies wiederum modellieren wir durch die Anzahl der unterscheidbaren Anordnungen von k Nullen und (n-1) Einsen (letztere symbolisieren Trennwände zwischen Urne 1-Urne 2 sowie Urne 2-Urne 3.
Im Beispiel wäre unsere Urnenbefüllung immer durch die Anordnung 0100100 erfaßt (1 Kugel - Trennwand - 2 Kugeln - Trennwand - 2 Kugeln).
Die Anzahl der unterscheidbaren Anordnungen von k Nullen und (n-1) Einsen ist aber bekanntlich
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombination mit Wiederholung
Kombinationen mit und ohne Wiederholung mache ich mir immer an meinem Lieblingsbeispiel mit k Personen klar, die sich auf n nummerierte Stühle setzen sollen.

A) Wenn dann jeder nur auf einem Stuhl sitzen kann, ergeben sich
Möglichkeiten, auf welchem Stuhl jemand sitzt (Kombinationen ohne Wiederholung).

B) Wenn sich alle k Leute auch auf einen Stuhl setzen können, gibt es
Möglichkeiten, auf welchen Stühlen ein oder mehrere Personen sitzen (Kombinationen mit Wiederholung).

C) Wenn man bei A) k-1 Stühle mehr aufgestellt hätte, käme man dort auf genauso viele Kombinationen ohne Wiederholung wie bei B) mit Wiederholung. Denn wann immer in A) mit k-1 mehr Stühlen die Personen nebeneinander sitzen, sitzen sie in B) aufeinander. D.h. man kann diese Möglichkeiten 1 zu 1 abbilden.
philipp-schwarz89 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, die Sache hat mir schon in mehreren Punkten weitergeholfen.

  • Die Formulierung (n+k-1) dient nicht der mathematischen Verdeutlichung eines Entscheidungsbaumes, sondern um die Darstellung von k Elementen und n-1 "Trennwänden".
  • Es ist wahrscheinlich doch so, dass sich die Szenarien "Eiskugeln aussuchen" und Raucher in Entwöhnungskursen" ähnlicher sind, als ich gedacht habe, da sie beide in diese "Kugeln-und-Trennwände"-Lösung passen.


Drehen wir n und k mal um und sagen, damit ich das verstehe, wir haben n=5 Eissorten und k=3 Kugeln. Dann wären die "genommenen" und "nicht genommenen" (also die verfügbaren) 5 Eissorten die Kugeln und die drei Eiskugeln, die auf die Waffel kommen, die Urnen, richtig? Bzw. wenn man eine Sorte zum Beispiel zweimal nimmt, dann gibt es nur 2 verschiedene Sorten auf der Waffel und deshalb nur 2 "Urnen", eine mit 2 Eiskugeln / "Kugeln" und eine mit einer Eiskugel / "Kugel".

Konkret gibt es 5 Sorten: Erdbeere E, Schokolade S, Vanille V, Nuss N und Pistazie P.
Die Trennwände sind diesmal auch Einsen, () bedeutet keine Kugel der Sorte auf der Waffel
Eine Eiswaffel mit 2 Kugeln Erdbeere und einer Kugel Pistazie wäre also ausdrückbar als
EE1()1()1()1P. Wenn ich die gewählten Kugeln als 0 verallgemeinere, bekomme ich 001110 und damit eine mögliche Kombination aus vorerst Kombinationen. Teile ich durch k! erhalte ich alle Permutationen dieser Kombinationen als eine (!) Kombination.

Jetzt ergeben sich zwei Fragen.
  • Habe ich das Prinzip richtig übertragen?
  • Was unterscheidet dies von einer Variation mit Wiederholung, rein "argumentativ"? Wieso kann man nicht die Kombination mit Wiederholung in eine Variation mit Wiederholung wandeln, indem man mit k! multipliziert, wie man das mit Kombination und Variation ohne Wiederholung tun kann.
philipp-schwarz89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dieses Thema doch nochmal nach oben schieben wollen, um die letzten beiden Fragen in meinem letzten Post - wenn möglich - auch nochmal beantwortet zu bekommen, auch wenn die zweite - halb-absichtlich . etwas naiv gestellt ist.
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