Matrizen und ihre Rechengesetze

09.12.2016, 20:45

loci

Matrizen und ihre Rechengesetze

Hi,

ich habe eine Aufgabe, wo ich merke, dass ich total keinen Plan von Matrizen-Rechenregeln habe. Und zwar soll gezeigt werden, dass

$\begin{eqnarray*} A*x=B \end{eqnarray*}$ genau dann erfüllt ist, wenn $\begin{eqnarray*} x=-D^{-1} (L+R)*x + D^{-1} *b \end{eqnarray*}$
Dabei können wir A in L+D+R zerlegen (linke untere Dreiecksmatrix, Diagonalmatrix, rechte untere...)

Meine Idee: ich forme den ersten Teil einfach um und gucke, dass ich irgendwie zum x komme, zweiter Teil oben.

Nun habe ich zuerst durch die Matrizen geteilt um dann rauszufinden, dass das natürlich nicht einfach machbar ist. Und ich fand noch eine Menge von Gesetzen, z.B. dass es auch immer wichtig ist, auf welcher Seite das x steht wenn man irgendwas multipliziert etc. Also war der erste Ansatz schonmal Käse. Mein zweiter Ansatz haut auch nicht so ganz genau hin:

A entsprechend oben zerlegen:
$\begin{eqnarray*} (L+D+R)*x = b \end{eqnarray*}$

Nun fand ich, dass wenn A invertierbar ist,
$\begin{eqnarray*} x=A^{-1} *b \end{eqnarray*}$

Aber selbst wenn ich A mit (L+D+R) ersetze, kommt ja im Leben nicht das raus, was oben zu zeigen ist. verwirrt

Nur finde ich da jetzt keine weiteren Rechengesetze die mich auch nur irgendwie in die Nähe zum obigen bringen...

$\begin{eqnarray*} (L+D+R)*x = b | x=A^{-1} *b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (L+D+R)*A^{-1} *b = b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (L+D+R)*(L+D+R)^{-1} *b = b \end{eqnarray*}$

scheint auch Schwachsinn zu sein und bringt mich nicht weiter.

09.12.2016, 22:25

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RE: Matrizen und ihre Rechengesetze
Bist du sicher, dass das nicht in den Dunstkreis iterativer Lösung von LGS gehört? Es sieht nach der Iterationsvorschrift des Gesamtschrittverfahrens bzw. Jacobi-Verfahrens aus
$\begin{eqnarray*} x^{(m+1)}=D^{{-1}}\left(b-\left(L+R\right)x^{(m)}\right) \end{eqnarray*}$

Edit: Unsinn, das geht auch direkt
$\begin{eqnarray*} Ax=b\iff Dx+(L+R)x=b\iff\ldots \end{eqnarray*}$

11.12.2016, 20:22

loci

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RE: Matrizen und ihre Rechengesetze
Du meinst also mit den normalen Umformungen für Matrizen? Denn Ich frage mich, wie man dann die D^(-1) raus bekommen soll.

Wie gesagt, ich finde da irgendwie nichts im Sinne von diesen Regeln, womit diese Umformungen möglich sind.

Auch bringt es mir nix, das x=A^(-1)*b anzunehmen, da ich nicht weiß, ob meine Matrix überhaupt invertierbar ist. Aber selbst wenn ich das jetzt für das x einsetzen würde, wäre mein x komplett weg. Das will ich ja nicht, sondern ich will ja auf x kommen. Durch Matrizen dürfen wir nicht teilen. Also kommt da glaube ich auch die D^(-1) nicht her...

Zitat:

EDIT: Wikipedia schreibt zu Inverser Matrix:Manche regulären Matrizen behalten ihre Zusatzeigenschaften unter Inversion. Beispiele hierfür sind: obere und untere Dreiecksmatrizen sowie strikt obere und untere Dreiecksmatrizen

d.h. ich kann für D ganz einfach D^(-1) einsetzen?

12.12.2016, 22:44

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RE: Matrizen und ihre Rechengesetze
Was meinst du denn mit

Zitat:

wie man dann die D^(-1) raus bekommen soll.

Also noch einen Schritt weiter:
$\begin{eqnarray*} Ax=b\iff Dx+(L+R)x=b\iff Dx= -(L+R)x +b \end{eqnarray*}$

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