Ringhomomorphismus und Einheitengruppe

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Ringhomomorphismus und Einheitengruppe
Meine Frage:


Sei ein Ringhomomorphismus.


(a) Zeigen Sie, dass einen Gruppenhomomor. (= Einheitengruppen) induziert.
Ist dieser immer injektiv?


(b) Sei . Zeigen Sie, dass injektiv ist, falls ein Körper ist.





Meine Ideen:

Beweis für die (a):


Sei a,a' aus s.d. a*a' = 1 dann folgt:


aus

also bildet zwischen den Einheitengruppen ab. und ist somit ein Gruppenhomomorphismus zwischen den Einheitengruppen.


Beweis für die (b):

Sei ein Körper und nicht der Nullring.

Dann gilt:

hat 2 Ideale nämlich sich selbst und das Nullideal.

Da Ideal in folgt:

Nullabbildung

oder

injektiv

mit (a) und folgt die Behauptung.




also die Lösung zur b) hab ich von einem Freund und jetzt frage ich mich halt
ob das alles so stimmt und ich frage mich halt noch was passiert denn wenn



bzw. ist das garnicht möglich ohne die Ringeigenschaften zu verlieren? Hab hier irgendwie nicht mehr ganz den überblick. geht ja noch um die frage wann genau injektiv ist.
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