Trigonometrische Gleichungen

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11.12.2016, 18:32	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Gleichungen Hey, ich habe eine allgemeine Frage, wie man trignometrische Gleichungen löst. z.B. $\begin{align} \frac{1}{2} \cdot sin(2x)-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos(2x)=0 \end{align}$ Gibt es bei solchen Gleichungen Tricks? Danke
11.12.2016, 18:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die gibt es meistens, kommt allerdings auf die Angabe an, sodass man das nicht immer normalisieren kann. Hier könntest du mittels Division auf den Tangens übergehen. (Bei der Division ist immer sicherzustellen, dass der Divisor NICHT Null werden kann!) mY+
11.12.2016, 18:54	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Also direkt durch Cosinus teilen oder erstmal bissel umschreiben? $\begin{align} \frac{1}{2} \cdot sin(2x)-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot cos(2x)=0 \end{align}$ $\begin{align} cos(x) \cdot sin(x)- \frac{\sqrt{3}}{2}\left( cos(x)^2 - sin(x)^2\right)=0 \end{align}$ Und jetzt durch Kosinus teilen oder?
11.12.2016, 19:04	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn schon, dann durch $\begin{eqnarray} \cos^2x \end{eqnarray}$ , aber es geht doch noch besser: Da das doppelte Winkelargument sowohl bei sin als auch bei cos gleich ist, dividiere sofort durch $\begin{eqnarray} \cos 2x \end{eqnarray}$ (!): $\begin{eqnarray} \sin 2x = \sqrt 3 \cos 2x \ \| \ : \cos 2x \neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan 2x = \sqrt 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Weiter den $\begin{eqnarray} \tan 2x \end{eqnarray}$ NICHT auflösen, sondern mit 2x weiterrechnen ... mY+
11.12.2016, 19:10	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
Anm. Du kannst alles durch tan ausdrücken: https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamm...inkelfunktionen Bei Division durch cos(2x) könnten Lösungen verloren gehen, oder?
11.12.2016, 19:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Adiutor: Nein, hier nicht. Denn wenn $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ .. = 0, wäre der $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ desselben Argumentes gleich 1, das Ding kann also nie Null werden! ------------- Also: Dein Vorschlag ist sicher auch machbar, aber hier zu umständlich!
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11.12.2016, 19:27	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Erklärung.
11.12.2016, 19:49	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} \tan 2x = \sqrt 3 \end{eqnarray}$ Ich muss ja jetzt überlegen, bei welchem x der $\begin{eqnarray} tan(2x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt 3 \end{eqnarray}$ wird. Hmm also muss ich doch $\begin{eqnarray} 2x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6} \end{eqnarray}$ berechnen. Also gilt dann $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{6} + n\pi \end{eqnarray}$ für die gesamte Lösungsmenge. Wenn ich nicht komplett daneben liege. ^^
11.12.2016, 20:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast. Die $\begin{eqnarray} n \pi \end{eqnarray}$ gehören natürlich zu $\begin{eqnarray} 2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x = \frac{\pi} 3 + n \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \frac{\pi} 6 + n \frac{\pi} 2 \end{eqnarray}$ Sic. mY+
11.12.2016, 20:36	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuche das mit pi*n nachzuvollziehen. Aber verstehe das nicht ganz. Also warum man dazuaddieren muss. Noch einen kleinen Denkansatz.
11.12.2016, 21:24	Thon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok habs mir doch erklären können. Danke
11.12.2016, 22:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Periodenlänge des Tangens ist $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ - im Gegensatz bei sin und cos, welche $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ haben. Die gilt natürlich für das totale Argument, weswegen hier die Periodenlänge noch durch 2 zu teilen ist. Übrigens muss man bei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ noch dazuschreiben, dass $\begin{eqnarray} n \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist. Die Lösungen von trigonometrischen Gleichungen sind fast immer bis auf Vielfache der Periodenlänge bestimmt, also kann es unendlich viele geben. Will man das ausschließen, schränkt man die Definitionsmenge auf ein bestimmtes Intervall ein, meist ist es dann [0; $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ ] mY+

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