Beweis Unterraum

11.12.2016, 20:01

Vanessa Precious

Beweis Unterraum

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Hallo,

ich muss das beweisen. (siehe Anhang).

Meine Idee:

Ich muss ja in zwei Richtungen beweisen.

$\begin{eqnarray*} U_{1} \cup U_{2} \end{eqnarray*}$ ist ein Unterraum "->" $\begin{eqnarray*} U_{1} \subset U_{2}\vee U_{2} \subset U_{1} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} U_{1} \cup U_{2} \end{eqnarray*}$ ist ein UR "<-" $\begin{eqnarray*} U_{1} \subset U_{2}\vee U_{2} \subset U_{1} \end{eqnarray*}$

Zur ersten Richtung "->":

Sei $\begin{eqnarray*} U_{1} \cup U_{2} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum. Angenommen, das gilt nicht: $\begin{eqnarray*} U_{1} \subset U_{2}\vee U_{2} \subset U_{1} \end{eqnarray*}$

Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} x\subset U_{1} \end{eqnarray*}$ , wobei x nicht in U2 ist und ein $\begin{eqnarray*} y\subset U_{2} \end{eqnarray*}$ , wobei y nicht in U1 ist.

Dann sind a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} U_{1} \cup U_{2} \end{eqnarray*}$

Weil in jedem Unterraum die Addition abgeschlossen ist, ist a + b aus $\begin{eqnarray*} U_{1} \cup U_{2} \end{eqnarray*}$ , das heißt aus $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ oder aus $\begin{eqnarray*} U_{2} \end{eqnarray*}$ .

Angenommen a + b ist aus $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ . Dann müsste weil a $\begin{eqnarray*} \in U_{1} \end{eqnarray*}$ ist, gelten, dass a+b-a = b auch aus $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ ist. Das geht aber nicht weil b $\begin{eqnarray*} \in U_{2} \end{eqnarray*}$

Also muss a + b aus $\begin{eqnarray*} U_{2} \end{eqnarray*}$ sein. Wegen a+b-b = a ist das aber ein Widerspruch.

Daher war die Annahme falsch.

Die Gegenrichtung ist trivial, weil dann $\begin{eqnarray*} U_{1} \cup U_{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} U_{1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U_{1} \cup U_{2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} U_{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Stimmt das?

Bei der c) weiß ich leider echt nicht wie ich das machen soll.

11.12.2016, 21:51

Guppi12

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Hallo,

b) stimmt soweit bis auf die Formulierung

Zitat:

Das geht aber nicht weil b $\begin{eqnarray*} \in U_{2} \end{eqnarray*}$

Es muss hier natürlich heißen, dass $\begin{eqnarray*} b\notin U_1 \end{eqnarray*}$ , denn das ist ja, was du brauchst und das wird von dem, was du geschrieben hast, nicht ausgeschlossen.
Außerdem verwechselst du häufig $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ .

Zur c) Fang so an: Sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein beliebiger Unterraum, der $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ enthält. Zeige, dass dann $\begin{eqnarray*} U_1+U_2\subset U \end{eqnarray*}$ . Nimm also ein beliebiges Element aus $\begin{eqnarray*} U_1+U_2 \end{eqnarray*}$ her und folgere nur aus der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist, der $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ enthält, dass dieses Element in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liegt.

11.12.2016, 23:06

Vanessa Precious

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Oh sorry, merkt man kaum, weil ich mit Latex auch kaum was zu tun hatte bisher Big Laugh

Hab auch ein paar mehr Fehler drin, aber ich habs jetzt auf meinem Blatt korrigiert (hier kann man es ja nur bis zu 15 Minuten später korrigieren) :P

Auf jeden Fall hab ich es jetzt Dank deiner Hilfe raus.

Danke.

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