Sechs symmetrische Würfel

12.12.2016, 19:07

Roadrunner_0881

Sechs symmetrische Würfel

Meine Frage:
Wir betrachten sechs völlig symmetrische Würfel.

a)
Wie oft muss man die sechs Würfel gemeinsam würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit,bei mindestens einem der gemeinsamen Würfe nur gerade Zahlen zu würfeln, größer als 90% ist?

b)
Wie oft muss man die sechs Würfel im Durchschnitt gemeinsam würfeln, bis man bei einem gemeinsamen Wurf nur ungerade Zahlen erhält?

Meine Ideen:
Die WSK, dass nur gerade Zahlen erscheinen $\begin{eqnarray*} \left(\frac{3}{6} \right)^{6}=\frac{1}{64} \end{eqnarray*}$

Gegenereignis:

$\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{1}{64} \right)^{n} > 0,9 \end{eqnarray*}$
...(Umformung)
$\begin{eqnarray*} n>\frac{ln(0,1)}{ln(\frac{1}{64}) } =0,55 \end{eqnarray*}$

Was habe ich flach gemacht? Es kann doch nicht sein, dass ich 0,55 mal würfeln muss um das gewünschte Erg. zu erhalten.

b)keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll

Vielen Dank

12.12.2016, 19:17

Roadrunner_0881

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RE: Klausuraufgabe - Würfeln
Ich glaube ich habe den Fehler gefunden, mein Gegenereignis muss dann $\begin{eqnarray*} \frac{63}{64} \end{eqnarray*}$ sein

$\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{63}{64} \right)^{n} > 0,9 \end{eqnarray*}$
...(Umformung)
$\begin{eqnarray*} n>\frac{ln(0,1)}{ln(\frac{63}{64}) } =146,211 \end{eqnarray*}$

Bei b) weiss ich aber immer noch nicht wie ich vorgehen soll.
Kann es sein, dass die WSK 1 ergeben muss? und somit $\begin{eqnarray*} x*\frac{1}{64} =1 -> x=64 \end{eqnarray*}$ man 64 mal würfeln muss im durchschnitt?

12.12.2016, 19:22

Dopap

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etwas hektisch unglücklich

welchen Wert hat denn das Gegenereignis im ersten Wurf.?
welchen Wert hat das Gegenereignis im n-ten Wurf ?
welchen Wert hat das Gegenereignis des Gegenereignisses im n-ten Wurf ? ...

12.12.2016, 19:39

Roadrunner_0881

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naja das Gegenereignis ist hier doch $\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{63}{64} \right) \end{eqnarray*}$ beim ersten Versuch und $\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{63}{64} \right)^n \end{eqnarray*}$ in n-ten Versuch und das Gegenereignis vom Gegenereignis ist dann ja wieder $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{64} \right)^n \end{eqnarray*}$ oder?

aber wie hilft mir das für Aufgabenteil b) weiter?

12.12.2016, 19:58

Dopap

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Zitat:

Original von Roadrunner_0881
naja das Gegenereignis ist hier doch $\begin{eqnarray*} 1-\left(\frac{63}{64} \right) \end{eqnarray*}$ beim ersten Versuch und $\begin{eqnarray*} \color{red}1-\left(\frac{63}{64} \right)^n \end{eqnarray*}$ in n-ten Versuch und das Gegenereignis vom Gegenereignis ist dann ja wieder $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{64} \right)^n \end{eqnarray*}$ oder?

da stimmt die Logik nicht. Ziemlich daneben.

dein Beitrag #2 war aber in Ordnung.

12.12.2016, 22:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Roadrunner_0881
b)keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll

Welche unüberhindlichen Hindernisse türmen sich denn hier auf im Vergleich zu dem doch ganz ähnlichen Problem a) mit den geraden Augenzahlen? Erstaunt1

12.12.2016, 23:41

Ulrich Ruhnau

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RE: Klausuraufgabe - Würfeln
Nachdem schon geklärt wurde, daß man 147 mal mit allen Würfeln würfeln muß, um Teil a der Aufgabe zu erfüllen, geht es nun um Teil b der Aufgabe. Gesucht ist der Erwartungswert, wie oft man im Schnitt würfelt, bis alle Würfel ungerade sind.

Sei $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit dafür, daß genau einmal würfeln reicht, dann ist $\begin{eqnarray*} p_1=\frac{1}{64} \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit dafür, daß genau zwei mal würfeln reicht, dann ist $\begin{eqnarray*} p_2=\frac{63}{64}\frac{1}{64} \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} p_3 \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß genau drei mal würfeln reicht, dann ist $\begin{eqnarray*} p_3=\left(\frac{63}{64} \right) ^{2} \frac{1}{64} \end{eqnarray*}$ .

Man erkennt leicht $\begin{eqnarray*} p_n=\left(\frac{63}{64} \right) ^{n-1} \frac{1}{64} \end{eqnarray*}$ .

Zur Probe, kann man mal die Summe über alle diese Wahrscheinlichkeiten bilden, die dann eins sein muß.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } p_n=\frac{1}{64} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \left(\frac{63}{64} \right) ^{n-1} =\frac{1}{64}\frac{1}{1-\frac{63}{64} } =1 \end{eqnarray*}$

Der Rest kommt am nächsten Tag.

13.12.2016, 00:20

Roadrunner_0881

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Den Erwartungswert bei einer Geom. Verteilung haben wir mit 1 durch die Whs. für einen Treffer definiert.

Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi } = \frac{1}{\frac{1}{64}} =64 \end{eqnarray*}$

d.h. man muss im durchschnitt 64 mal würfeln

13.12.2016, 08:50

Ulrich Ruhnau

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Sei E der gesuchte Erwartungswert, dann will ich zeigen, daß tatsächlich E=64 ist. Ich finde den Lösungsweg so toll.

$\begin{eqnarray*} E=\sum\limits_{n=1}^{\infty } n p_n = \frac{1}{64}\sum\limits_{n=1}^{\infty } n \left(\frac{63}{64} \right) ^{n-1} \end{eqnarray*}$

Um jetzt weiter zu kommen, hilft ein Trick. Sei

$\begin{eqnarray*} E(x)= \frac{1}{64}\sum\limits_{n=1}^{\infty } n x^{n-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x<1 \end{eqnarray*}$

Das können wir umwandeln zu

$\begin{eqnarray*} E(x)= \frac{1}{64}\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{d}{dx} x^{n} = \frac{1}{64}\frac{d}{dx}\sum\limits_{n=1}^{\infty } x^n= \frac{1}{64}\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}-1\right) = \frac{1}{64}\left(1-x\right)^{-2} = \frac{1}{64(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} E=E\left(\frac{63}{64} \right) = \frac{1}{64(1-\frac{63}{64} )^2} =64 \end{eqnarray*}$

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