arcsin(2) berechnen (komplex)

13.12.2016, 15:11

Clausmoin

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arcsin(2) berechnen (komplex)

Meine Frage:
Hallo Leute ,

Ich habe folgende Aufgabe:

Bestimmen sie z element C sodass sin(z)=2 ist.

Wie mache ich das ?

Als Hinweis steht noch da :

Die Euler Formel gilt auch für Komplexe Argumente. Verwenden sie eine passende Substitution.

Meine Ideen:
Ich bitte um hilfe bitte

13.12.2016, 15:33

Steffen Bühler

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RE: Euler Formel
Mit dem Hinweis kommst Du weiter! Wie drückt man denn den Sinus über die e-Funktion aus?

Viele Grüße
Steffen

13.12.2016, 15:43

Clausmoin

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RE: Euler Formel
Naja ganz einfach so :

$\begin{eqnarray*} sin(x)= \frac{e^{ix}-e^{-ix} }{2i} \end{eqnarray*}$

Ich muss ja den winkel a herausfinden

13.12.2016, 15:46

Steffen Bühler

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RE: Euler Formel
Prima! Nun setz sin(x)=2, multiplizier mit 2i durch und bring alles nach links. Wenn Du dann geschickt substituierst, hast Du eine quadratische Gleichung vor Dir.

13.12.2016, 16:19

Clausmoin

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RE: Euler Formel
schön wie du das erklärst ! smile

smile

Also

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{ix}-e^{-ix} }{2i}=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{ix}-e^{-ix} =4i \end{eqnarray*}$

setze für e^ix = u ein.

Dann :

$\begin{eqnarray*} u-\frac{1}{u} =4i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^{2} -4iu -1=0 \end{eqnarray*}$

Also :

$\begin{eqnarray*} u= 2i +- \sqrt{(2i)^{2}+1} \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit eigentlich ? verwirrt

verwirrt

13.12.2016, 16:25

Steffen Bühler

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RE: Euler Formel
Ja, passt alles bis jetzt. Wie geht's weiter?

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13.12.2016, 16:28

Clausmoin

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RE: Euler Formel
Bin mir zwar nicht sicher aber so :

$\begin{eqnarray*} u= 2i +- \sqrt{4i^{2} +1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u= 2i +- \sqrt{-4 +1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u= 2i +- \sqrt{-3} \end{eqnarray*}$

Und hier bin ich mir nicht ganz sicher

wurzel - 3 ist doch 3i^2 oder ?

$\begin{eqnarray*} u= 2i +- 3i^{2} \end{eqnarray*}$

13.12.2016, 16:32

Steffen Bühler

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RE: Euler Formel
Nein: $\begin{align*} \sqrt{-3}=\sqrt{-1 \cdot 3} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt 3 = \dots \end{align*}$

13.12.2016, 16:38

Clausmoin

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RE: Euler Formel
Ich verstehe also kommt da

$\begin{eqnarray*} u= 2i +- \sqrt{3}*i \end{eqnarray*}$

und zusammenfassend

$\begin{eqnarray*} u_{1}= 2+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{2}= 2-\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

durch resubstitution erhalte ich

$\begin{eqnarray*} e^{ix} = 2i+\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x =ln( 2+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

ist das nun unser x wo sin(x)=2 ergibt verwirrt

verwirrt

13.12.2016, 16:43

Steffen Bühler

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RE: Euler Formel
Kleiner Fehler beim Umformen: zuerst ln, dann durch i.

13.12.2016, 16:45

Clausmoin

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RE: Euler Formel
Mh dann würde ja das rauskommen :

$\begin{eqnarray*} x =\frac{ln(2i+\sqrt{3}i )}{i} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

13.12.2016, 16:50

Steffen Bühler

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RE: Euler Formel
Perfekt! Und weiter:

$\begin{align*} \frac{\ln \big(2i+\sqrt{3}i \big) }{i} = \frac 1 i \cdot \ln \bigg( \big(2+ \sqrt 3 \big) i \bigg) = \dots \end{align*}$

13.12.2016, 16:55

Clausmoin

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RE: Euler Formel
Mhh da würde dann stehen :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{i} * ln(2+\sqrt{3)}+ln(i) \end{eqnarray*}$

also mit ln(i ) kann ich irgendwie nicht viel anfangen.

Und eine frage habe ich noch haben wir
$\begin{eqnarray*} u2=2i-\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$

nicht betrachtet da ln negativ nicht definiert ist ?

13.12.2016, 16:59

Steffen Bühler

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RE: Euler Formel

Zitat:

Original von Clausmoin
also mit ln(i ) kann ich irgendwie nicht viel anfangen.

Hilft Dir $\begin{align*} i = e^{i \cdot \frac {\pi}2} \end{align*}$ weiter?

Zitat:

Original von Clausmoin
$\begin{eqnarray*} u2=2i-\sqrt{3}i \end{eqnarray*}$
nicht betrachtet

Doch, das dürfen wir nicht vergessen. Kommt dann noch.

13.12.2016, 17:08

Clausmoin

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RE: Euler Formel
Benutzt du da diese Umformung

3 kann man zb auch darstellen als $\begin{eqnarray*} e^{ln(3)} \end{eqnarray*}$

oder ist das eine andere regel ?

i= $\begin{eqnarray*} e^{i*pi/2} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} ln(e^{\frac{pi}{2} i}) \end{eqnarray*}$

also würde da $\begin{eqnarray*} \frac{pi}{2} i \end{eqnarray*}$

rauskommen

habe ich dann als komplettes ergebnis :

$\begin{eqnarray*} \frac{pi *i}{2i} *ln(2+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \frac{pi }{2} *ln(2+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

13.12.2016, 17:20

Steffen Bühler

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RE: Euler Formel

Zitat:

Original von Clausmoin
i= $\begin{eqnarray*} e^{i*pi/2} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} ln(e^{\frac{pi}{2} i}) \end{eqnarray*}$

also würde da $\begin{eqnarray*} \frac{pi}{2} i \end{eqnarray*}$

rauskommen

Das ist die Hauptlösung, ja. Allerdings wird das Ganze jetzt auch noch periodisch. Denn leider ist nicht nur $\begin{align*} e^{i \cdot \frac {\pi}2} \end{align*}$ dasselbe wie i, sondern der Winkel kann um beliebige Vielfache von $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ weitergedreht werden. So ist auch $\begin{align*} e^{i \cdot (\frac {\pi}2 + 2 \pi)} = i \end{align*}$ , $\begin{align*} e^{i \cdot (\frac {\pi}2 + 1234 \pi)} = i \end{align*}$ und so weiter.

EDIT: Formel korrigiert.

Zitat:

Original von Clausmoin
habe ich dann als komplettes ergebnis :

$\begin{eqnarray*} \frac{pi *i}{2i} *ln(2+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

Nein, wir kamen doch von $\begin{align*} \frac{1}{i} * ln(2+\sqrt{3)}+ln(i) \end{align*}$ . Da hast Du was falsch umgeformt.

13.12.2016, 17:26

Clausmoin

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RE: Euler Formel
Mhh ich verstehe das nicht ganz also :

Wir waren ja bei

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{i } * ln(2+\sqrt{3}) +ln(i) \end{eqnarray*}$

und ln(i) ist ja gleich pi/2 *i also steht doch da

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{i } * ln(2+\sqrt{3}) +\frac{pi}{2}*i \end{eqnarray*}$

und dann habe ich doch

$\begin{eqnarray*} \frac{pi *i}{2i } * ln(2+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

dann kann ich doch das i weg kürzen verwirrt

verwirrt

13.12.2016, 17:38

Clausmoin

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RE: Euler Formel
Also ne sorry das war falsch Big Laugh

Big Laugh

Da muss doch das hier raus kommen

$\begin{eqnarray*} \frac{2*ln(2+\sqrt{3}-pi }{2i} \end{eqnarray*}$

13.12.2016, 17:41

Steffen Bühler

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RE: Euler Formel
Ja, da ist uns beiden im Eifer eine Klammer runtergefallen. Noch mal richtig:

$\begin{align*} \frac{1}{i } \cdot \bigg( \ln \big( 2\pm \sqrt{3} \big) +\ln(i) \bigg) \end{align*}$

$\begin{align*} = \frac{1}{i } \cdot \bigg( \ln \big( 2 \pm\sqrt{3} \big) +\frac {\pi}2 i + 2k \pi i \bigg) , k \in \mathbb Z \end{align*}$

EDIT: Formel korrigiert.

Du bist wieder dran.

13.12.2016, 17:46

HAL 9000

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@Steffen

Irgendwie sind dir da einige $\begin{align*} i \end{align*}$ entfallen: An einigen Stellen, wo bei dir $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} 2k\pi \end{align*}$ steht, muss eigentlich $\begin{align*} 2\pi i \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} 2k\pi i \end{align*}$ stehen. verwirrt

verwirrt

13.12.2016, 17:51

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Irgendwie sind dir da einige $\begin{align*} i \end{align*}$ entfallen

Dankeschön, hab's verbessert.

13.12.2016, 18:14

Clausmoin

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Also würde doch das raus kommen :

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(2+-\sqrt{3}) }{i} + \frac{\frac{pi}{2}*i+2kpi *i }{2i} \end{eqnarray*}$

und nun ?
verwirrt

verwirrt

13.12.2016, 18:25

Clausmoin

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Also zusammenfassend habe ich nun das hier :

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(2+-\sqrt{3}) }{i} +\frac{pi}{2}+k*pi \end{eqnarray*}$

13.12.2016, 20:13

Steffen Bühler

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So ist es. Eventuell noch $\begin{align*} \frac 1 i=-i \end{align*}$ anwenden, falls Du den Bruch loswerden willst.

Viele Grüße
Steffen

13.12.2016, 20:55

Clausmoin

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Aber wenn ich diesen wert in sinus einsetze kommt doch nicht 2 raus verwirrt

verwirrt

13.12.2016, 21:31

Steffen Bühler

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Doch, tut es. Rechne es ruhig einmal aus.

13.12.2016, 21:33

mYthos

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$\begin{eqnarray*} .. +k \pi \end{eqnarray*}$ stimmt nicht, es müsste .. $\begin{eqnarray*} + 2k \pi \end{eqnarray*}$ lauten.

Dann stimmt es schon, gerade in $\begin{eqnarray*} \sin(z) \end{eqnarray*}$ eingesetzt, es ergibt sich $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$

13.12.2016, 21:43

mYthos

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Was denkt ihr über den folgenden Lösungsweg (für den Hauptwert)? :

$\begin{eqnarray*} \sin(z) = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos z = -i \sqrt 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{iz} = \cos z + i \sin z = i(2 - \sqrt 3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} iz = \ln i + \ln(2 - \sqrt 3) \ | \ \cdot (-i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = -i \ln i - i \ln(2 - \sqrt 3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = \frac {\pi} 2 - i \ln (2 - \sqrt 3) \end{eqnarray*}$
===================

13.12.2016, 21:55

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \sin(z) = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos z = -i \sqrt 3 \end{eqnarray*}$

Wow! Einfach über $\begin{align*} (\sin(z))^2+(\cos(z))^2=1 \end{align*}$ , das ist elegant!
Aber warum nicht gleich $\begin{align*} \cos(z)=\pm \sqrt{1-(\sin(z))^2} \end{align*}$ ?

EDIT: Quadrat vergessen.

13.12.2016, 22:08

mYthos

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Ja, die beiden Vorzeichen, stimmt.
War bei mir ein Schreibfehler. Das Minus war eigentlich dort nicht vorgesehen Big Laugh

Big Laugh

Somit kriegt man noch eine zweite Lösung für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = \frac{\pi} 2 - i \ln(2 + \sqrt 3) \end{eqnarray*}$

BTW:
Bei dem additiven Vielfachen bleibt es bei $\begin{eqnarray*} 2k \pi \end{eqnarray*}$ , das könnte man mit dem vorderen Term $\begin{eqnarray*} \frac{\pi} 2 \end{eqnarray*}$ vereinen, zu $\begin{eqnarray*} \frac{\pi} 2 (1 + 4k) \end{eqnarray*}$

13.12.2016, 22:33

Clausmoin

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Also muss ich jetzt

Das hier

Zitat:

Also zusammenfassend habe ich nun das hier : $\begin{eqnarray*} \frac{ln(2+-\sqrt{3}) }{i} +\frac{pi}{2}+2k*pi \end{eqnarray*}$

für x in das hier einsetzen

sin(x)= e^(ix)-e^(-ix)/2i

und dann kommt 2 raus ?

13.12.2016, 22:52

Clausmoin

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Also ich komme nur soweit :

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{i*(\frac{ln(2+\sqrt{3}) }{i}+\frac{pi}{2} +2kpi) - e^{-i((\frac{ln(2+\sqrt{3}) }{i}+\frac{pi}{2} +2kpi)} } }{2i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{(\frac{ln(2+\sqrt{3}) }{i}+\frac{pi*i}{2} +2kpi*i) - e^{-((\frac{ln(2+\sqrt{3}) }{i}-\frac{pi*i}{2} -2kpi*i)} } }{2i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{(\frac{ln(2+\sqrt{3}) }{i}+ln(i) +2kpi*i) - e^{-((\frac{ln(2+\sqrt{3}) }{i}-ln(i) -2kpi*i)} } }{2i} \end{eqnarray*}$

13.12.2016, 23:46

mYthos

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Du hast bei der e-Potenz den Nenner $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ NICHT mit dem $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ , welches bei $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ steht, gekürzt! Der Nenner $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ darf daher dort nicht stehen bleiben.

Der Zähler wird zu $\begin{eqnarray*} 4i \end{eqnarray*}$ , denn es wird die Differenz zu $\begin{eqnarray*} i(\sqrt 3 + 2) - i(\sqrt 3 - 2) = 4i \end{eqnarray*}$ und das dividiert durch $\begin{eqnarray*} 2i \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$

mY+

14.12.2016, 01:01

Clausmoin

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Ja das habe ich vergessen aufzutippen ! Sorry !

Mein Problem ist was wird aus 2kpi*i ?

Und da du ja auf i(2+sqrt(3) ) kommst muss ja irgendwie davor ln(2+sqrt(3)) *ln(i) gestanden haben. Also irgendwie komme ich nicht drauf :/

14.12.2016, 02:07

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 2k*pi verändern den Winkel nicht, die kannst du in jedem Falle weglassen, die wirken sich daher auch auf die e-Potenz (deren Wert --> 1) nicht weiter aus.
Was in den Zähler kommt, ist definitiv das, was ich dir vorhin schon geschrieben habe.

mY+

14.12.2016, 09:42

Steffen Bühler

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Vielleicht noch ein Schubserchen:

$\begin{align*} e^{i \cdot \left( \frac{\ln \left(2\pm \sqrt 3\right) }i +\frac{\pi}2+2k \pi \right) } = e^{\ln \left(2\pm \sqrt 3\right)+\frac{\pi}2 \cdot i +2k \pi \cdot i } = e^{\ln \left(2\pm \sqrt 3\right)} \cdot e^{\frac{\pi}2 \cdot i } \cdot e^{2k \pi \cdot i }=\dots \end{align*}$

Übrigens wird Dein $\begin{align*} pi \end{align*}$ durch einen kleinen Backslash (also \pi) zum $\begin{align*} \pi \end{align*}$ .

14.12.2016, 10:23

Clausmoin

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Zitat:

ielleicht noch ein Schubserchen: ei&#8901 traurig

traurig

ln(2±3&#8730 Augenzwinkern

Augenzwinkern

i+À2+2kÀ)=eln(2±3&#8730 Augenzwinkern

Augenzwinkern

+À2⋅i+2kÀ⋅i=eln(2±3&#8730 Augenzwinkern

Augenzwinkern

⋅eÀ2⋅i⋅e2kÀ⋅i=

Also kriege ich ja für e^{ln(2+\sqrt{3}) }

gleich das hier raus $\begin{eqnarray*} 2+\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} e^{\frac{\pi}{2}*i+2k*\pi*i } \end{eqnarray*}$

kriege ich das hier raus $\begin{eqnarray*} e^{(\frac{\pi}{2}+2k*\pi)*i } \end{eqnarray*}$

jedes vielfache von pi/2 *i ist wieder i also könnte ich das schreiben als ln(i) also i oder ? verwirrt

verwirrt

14.12.2016, 10:34

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Clausmoin
$\begin{eqnarray*} e^{(\frac{\pi}{2}+2k*\pi)*i } \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von Clausmoin
jedes vielfache von pi/2 *i ist wieder i also könnte ich das schreiben als ln(i) also i

Du meinst das Richtige, aber lass mich es mal korrigieren:

Die Zahl $\begin{align*} e^{\frac{\pi}{2} \cdot i } \end{align*}$ hat den Betrag Eins und den Winkel $\begin{align*} \frac{\pi}{2} \end{align*}$ , ist also dasselbe wie die Zahl i. Wird der Winkel beliebig oft um $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ nach links oder rechts gedreht (also mit $\begin{align*} 2 k \pi, k \in \mathbb Z \end{align*}$ addiert), ist das immer noch die Zahl i.

14.12.2016, 10:48

Clausmoin

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke wenn ich aber nun die rechte Seite ausrechne mit der negativen e-Potenz komme ich auf

$\begin{eqnarray*} e^{-ln(2+\sqrt{3}) } \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{\pi}{2}*i } \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{-2k\pi *i } \end{eqnarray*}$

und dann würde doch da raus kommen 1/ln(2+sqrt(3)) *i verwirrt

verwirrt

14.12.2016, 11:12

mYthos

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Nein, ohne den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ im Nenner (!)

Und dann gilt auch

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {2 + \sqrt 3} = 2 - \sqrt3 = -(\sqrt 3 - 2) \end{eqnarray*}$

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